增量式PID的理解和应用

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1. PID控制简介

PID控制，即 比例（proportion） - 积分（integration） - 微分(differentiation) 控制
是自动控制原理中定义的一种控制方法
也可以称为是校正方法


$t$：某个时刻
$kp$: 比例系数
$ki$: 积分系数
$kd$: 微分系数
$err$: 误差
当得到系统的输出后
将输入加上经过比例，积分，微分调节的输出
从而控制系统的行为

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2. 比例控制算法

先只看PID中最简单的比例控制
用一个经典的例子，假设有一个水缸，目的是要保证水缸里的水位永远的维持在1米
假设初始时刻，水缸里的水位是0.2米
那么当前时刻的水位和目标水位之间是存在一个误差的error，所以error=0.8

假设旁边站着一个人，这个人通过往缸里开阀加水的方式来控制水位
如果单纯的用比例控制算法，就是指加入的水量u和误差error是成正比的
即 $u=kp\ast error$

假设 $kp=0.5$， 那么 $t=1$ 时（表示第1次加水，也就是第一次对系统施加控制）
则 $u=0.5\ast 0.8=0.4$
所以这一次加入的水量会使水位在0.2的基础上上升0.4，达到0.6

$t=2$时刻（第2次施加控制），当前水位是0.6，所以$error=0.4$
则 $u=0.5\ast 0.4=0.2$
所以这一次加入的水量会使水位在0.6的基础上上升0.2，达到0.8

如此这么循环下去，就是比例控制算法的运行方法
最终水位会达到需要的1米

但是，单单的比例控制存在着一些不足
其中一点就是 稳态误差，也叫 静态误差！

根据kp取值不同，系统最后都会达到1米
只不过kp大了到达的快，kp小了到达的慢一些，不会有稳态误差

但是，考虑另外一种情况，假设这个水缸在加水的过程中，存在漏水的情况
假设每次加水的过程，都会漏掉0.1米高度的水
仍然假设kp取0.5，那么会存在着某种情况
假设经过几次加水，水缸中的水位到0.8时，水位将不会再变换！！！
因为水位为0.8，则误差 $error=0.2$
所以每次往水缸中加水的量为 $u=0.5\ast 0.2=0.1$
同时，每次加水，缸里又会流出去0.1米的水！！！
加入的水和流出的水相抵消，水位将不再变化！！

也就是说，目标是1米
但是最后系统达到0.8米的水位就不再变化了，且系统已经达到稳定
由此产生的误差就是稳态误差了

在实际情况中，这种类似水缸漏水的情况往往更加常见
比如控制汽车运动，摩擦阻力就相当于是“漏水”
控制机械臂、无人机的飞行，各类阻力和消耗都可以理解为本例中的“漏水”
所以，单独的比例控制只能控制现在，在很多时候并不能满足要求

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2. 积分控制算法

如果仅仅用比例，存在稳态误差，最后的水位就卡在0.8了
于是，在控制中再引入一个分量，该分量和误差的积分是正比关系
所以，比例+积分控制算法为： $u=kp\ast error+ki\ast \int error$

还是用加水的例子来说明：
第一次的误差error是0.8，第二次的误差是0.4
至此，误差的积分（离散情况下积分其实就是做累加）: $\int error=0.8+0.4=1.2$
这个时候的控制量，除了比例的那一部分，还有一部分就是一个系数ki乘以这个积分项
由于这个积分项会将前面若干次的误差进行累计
所以可以很好的消除稳态误差

假设在仅有比例项的情况下，系统卡在稳态误差了，即上例中的0.8
由于加入了积分项的存在，会让输入增大
从而使得水缸的水位可以大于0.8，渐渐到达目标的1.0
这就是积分项的作用，可以纠正过去

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3. 微分控制算法

平稳的加水过程，当发现快满的时候
为了使得水面产生的波浪不溢出水缸
基本上提前一点就先慢慢的减少加水速度了，关小点阀门，避免溢出水缸

当非常近满的时候，则越不加水，使水不溢出刚刚好满缸
整个过程可以看做一个加入微分的控制策略

微分，说白了在离散情况下，就是error的差值
即 t 时刻和 t-1 时刻error的差
即 $u=kd\ast (error(t)-error(t-1))$，其中的kd是一个系数项

可以看到，在减缓加水速度的过程中，因为error是越来越小的
所以这个微分控制项一定是 负数
在控制中加入一个负数项，作用就是为了防止由于来不及停止倒水时而溢出水缸

从常识上可以理解，越是靠近满缸的时候，越是应该注意减少加水，不能让水过溢出
所以这个微分项的作用，就可以理解为关阀门
当水离缸面很近并且水流速度很快时
这个微分项的绝对值（实际上是一个负数）就会很大
从而应该立即关小阀门停止加水
这就是微分项的作用，管控未来 ，减少控制过程中的震荡

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4. 增量式PID应用

以控制电机转速为例，希望电机通过编码器的反馈，达到平稳变速的效果
假设编码器读取的数据是上个状态电机希望的输出

import matplotlib.pyplot as plt

Kp = 0.3    # 比例系数 调整系统的响应速度 
Ki = 0.03   # 积分系数 主要解决达不到设定值的静态误差问题
Kd = 0.03   # 微分系数 主要解决积分项I存在导致系统的响应速度问题

goal = 100      # 目标值
output = [0, 0] # 输出 output[0]现输出 output[0]旧输出
bmq = 0         # 编码器反馈
err = [0, 0]    # 输出误差 err[0]现误差 err[0]旧误差 


def IncrementalPID_control():
    global bmq, output
    err[1] = err[0]         # 更新误差
    err[0] = goal - bmq
    # 输出 = 基准 + P * 误差 + I * 累积误差 + D * 误差偏差
    output[0] = output[1] + Kp * err[0] + Ki * (err[0] + err[1]) + Kd * (err[0] - err[1])  # PID调节
    bmq = output[0]         # 假设反馈等于现输出
    output[1] = output[0]   # 记录现输出


IncrementalTime = [0]       # 时间次数
IncrementalOutput = [0]     # 输出

for i in range(1, 20):      # 迭代
    IncrementalPID_control()                # 运算一次增量式PID
    IncrementalOutput.append(output[0])     # 添加输出结果
    IncrementalTime.append(i)               # 添加时间次数

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']                  # 设置正常显示中文
plt.plot(IncrementalTime, IncrementalOutput, label='output')  # 设置曲线数值
plt.xticks(IncrementalTime)                                   # 设置X轴坐标数值标识
plt.xlim(0)                                                   # 设置X轴的范围（起始坐标）
plt.ylim(0)                                                   # 设置Y轴的范围（起始坐标）
plt.xlabel('次数')                                            # 设置X轴的名字
plt.ylabel('输出')                                            # 设置Y轴的名字
plt.title("P:{0} I:{1} D:{2} 趋势图".format(Kp, Ki, Kd))      # 设置标题
plt.legend()                                                  # 设置图例
plt.show()                                                    # 显示图表

可以得到一个相对曲滑的曲线，以达到平稳变速的效果

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[1] python的代码地址:
https://github.com/JoveH-H/A-simple-explanation/blob/master/IncrementalPID.py
[2] jupyter notebook的代码地址:
https://github.com/JoveH-H/A-simple-explanation/blob/master/ipynb/IncrementalPID.ipynb

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参考：
PID控制算法原理（抛弃公式，从本质上真正理解PID控制）

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谢谢！