四元数插值

四元数介绍：

q=<w,x,y,z>=w+xi+yj+zkq==w+xi+yj+zk 或者 q=s+vq=s+v
q¯=s−vq¯=s−v
q1q2=s1s2−v_1v_2+s1v_2+s2v_1+v_1×v_2q1q2=s1s2−v_1v_2+s1v_2+s2v_1+v_1×v_2

将三维向量扩充为四元数的方法：

三维向量可以直接看成标量为0的四元数。

四元数旋转：

旋转相当于将原始的一个角经过一个函数变换，使之长度、角度、手相性不变。
长度不变：

length(F(P))=length(P)length(F(P))=length(P)

角度不变：

F(P1)⋅F(P2)=P1⋅P2F(P1)⋅F(P2)=P1⋅P2

手相性不变：

F(P1)×F(P2)=F(P1×P2)F(P1)×F(P2)=F(P1×P2)

对于这样的F，我们有F(P)=qPq−1F(P)=qPq−1，其中q为非零的四元数。
满足上述表达式的函数均为同态函数（它拥有上述三个完美的性质）
note:note: 任意标量a，乘以q，得到的 aq 对P进行操作和直接用 q 执行操作结果相同，是相同的旋转操作。
因为：
(aq)P(aq)−1=qPq−1(aq)P(aq)−1=qPq−1
经过大量的数学推导，最后结论：绕A轴进行旋转，相当于

q=cosθ2+Asinθ2q=cosθ2+Asinθ2

的上述函数运算。