线性代数从零开始详解笔记【行列式】

行列式

0. 引言

为什么我们需要引入行列式？我们先来看一个方程组：
$$\{\begin{array}{l}5x+6y=7（1）\\ 9x+4y=3（2）\end{array}$$
假如，现在我们来解这个方程组，利用我们初中的知识，我们很自然的想到：把（1）乘9，（2）乘5，然后两式相减就可以消掉$x$了，虽然这时我们就可以把y解出来了，但我们可以同理知道，我们也可以消掉$y$。
把我们得到消掉式子形式写出来：$$x=\frac{7\ast 4-6\ast 3}{5\ast 4-6\ast 9}$$
$$y=\frac{3\ast 5-7\ast 9}{5\ast 4-6\ast 9}$$
我们利用分子分母的系数数字定义一种新的运算形式：行列式
$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$
我们可以理解为引入行列式是为了能够给解线性方程组提供理论工具，当然可以从更加高深的理论解释，我们这里不做解释。

0.1 本章知识思维导图：

1. 行列式性质

1.1 等值性质

【1】转置，值不变

• 实质上是维度互换：取顺时针90度的镜面。转置一次行列式的值不变。

• 转置两次行列式变回原型。

【7】根据某行对行列式进行“和拆分”

• $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$
• 注意根据的是某行，不是整体，其余的行需要保持不变。

【8】某一行乘以一个数加到另外一行上D值不变

• 这是根据【7】和【6】推出来的。

1.2 变值性质

【2】两行/列交换，值变号

• 交换之后要变号。为什么呢？如果按行列式的排列展开的话，假设某一项的符号$(-1{)}^{N(1234)}$，交换两行/列之后，符号变成$(-1{)}^{N(1324)}$，对于排列而言，交换两个数，偶排列变成奇排列。

1.3 值0性质

【3】两行/列对应相等，值为0

• 根据【2】得出的，交换这两行相等的行，得到D=-D。所以D=0。

【5】某行等于0，D=0

• 这是根据【4】推出来的，因为kD=D，所以D=0

【6】两行元素成比例，D=0

• 这是根据【3】和【4】推出来的。

1.4 运算性质

【4】数乘k，以行/列为一个提取单位

• $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4k& 5k& 6k\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=k$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$

2. 行列式的展开

三阶行列式的展开
$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=aei+dhc+bfg-ceg-bdi-ahf$$
如何去更好记忆它呢？首先，我们来看主对角线和次对角线是什么，主对角线指$aei$，次对角线指$ceg$，从左到右的是主，从右到左是次。看三阶行列式，一共六项，三正三负，如果是主对角线方向的是正的，次对角线方向的是负的。

2.1 排列

排列是指由多个单个有序数字所组成的数组，例如：3214，312，4732561，不缺任何一个，只是顺序不同，像5132就不是排列了。

• 逆序性质：对某个元素来说，满足比他小的数在他的右边叫逆序

• 逆序数：把元素从左到右遍历一遍，把每个元素的满足逆序的个数加起来得到的结果。例如：4213，看4：左边有3个比4小的，看2：左边有1个比他小的，看3：左边没数。所以逆序数=3+1=4个。记作：N(4213)=4

• 排列的奇偶性：取决于逆序数的奇偶性，分为奇排列和偶排列

• 标准排列：特殊的 123456…n ，有N(123456…n)=0

• n级排列：是排列的数组（数组的数组），比如：【123，132，312，321，231，213】这是一个3级排列。

• 对换：假如对4321的32进行对换操作（交换两个数），得到4231，有N(4321)=6，N(4231)=5，可以看出，从偶排列变成了奇排列。

2.2 行标是标准排列的展开

首先对三阶行列式进行展开：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$

我们可以观察到三正三负，我们可以看到这样的特征：所有的行标都是123，123，123，123，…

所有的行标都是标准排列。

我们再看列标：

123 ，231，312
#############
321，213，132

上面的排列的逆序数都是偶数，下面的排列的逆序数都是奇数。和项符号关系的：逆序数偶正奇负

我们不难看出：如果按行展开的话，行标都是标准排列，列标的所有组成排列所有可能，然后每项符号通过逆序数计算出来（原则是：偶正奇负）。

2.3 列标是标准排列的展开

我们看回上面的展开，我们不难发现，实际上每一项的$a_{xx}$都是可以调换顺序的，这样一来，我们可以发现另外一种角度：列标都是标准排列，行标的所有组成排列所有可能，而符号依然满足：逆序数偶正奇负

2.4 行标和列标都不是标准排列的展开

实际上，行和列没有区别的，都是维度，我们调整顺序，会发现，也是可以发现既不按行也不按列的展开。

这种一般需要记住的规律是：他们项的符号由【行标的逆序数】和【列标逆序数】的和决定

因为在按行和按列展开里面，标准排列最大的特点就是逆序数是0。

【例题】$(-1{)}^{N(i21m)+N(1k32)}$问k，i，m的值分别是？
解：
从1k32中我们不难发现k=4，因为只有四个数，而i和m各有两种可能，要不是3，要不是4。

2.5 行列式的特殊展开

我们对于行列式用符号D来表示，对于普通的展开，我们这样子操作：由于行标是123，123，123…，我们就对每行轮流操作，然后列出列标的所有可能，然后根据列标取数，最后根据逆序数取符号。一般来说展开的行列是会有0，这样子就会减少计算量。

张量的形态

• 上三角（上右靠边）
• 下三角（下左靠边）
• 对角型（只有主对角线）

他们的展开都是主对角线的元素相乘

• 伪上三角
• 伪下三角
• 伪对角型

他们的展开都是次对角线元素相乘

2.6 按行列式的代数余子式按行/列展开

余子式
$M_{ij}$指定某个元素，把他所在的行和列去除，剩下的行列式就是余子式。

代数余子式
$A_{ij}$假如在余子式前面加上$(-1{)}^{i+j}$作为符号方向，就是代数余子式。

原始：
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 3& 4\\ 5& 5& 6& 6\end{array}\right|$$
余子式：
$$M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 1& 1& 1\\ 5& 5& 6\end{array}\right|$$
代数余子式：
$$A_{32}=(-1{)}^5\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 1& 1& 1\\ 5& 5& 6\end{array}\right|$$

我们可以利用代数余子式对行列式进行展开。
先以某一行/列元素作为基准元素，每项是该元素乘以自己的代数余子式。
$$D=\sum _{cols}^j{A}_{ij}{a}_{ij}$$

利用代数余子式进行展开的好处是可以对行列式进行降阶。

比如我们要展开的行列式是3阶的，进行代数余子式展开之后就变成2阶的了。

在选择哪一行/列进行展开的时候，我们可以有限考虑0比较多的那一行/列进行展开，加快运算。

异乘变零定理
假如我们用某行元素和另一行元素的代数余子式相乘的话，等于0。

也就是说不和自己搭配的代数余子式相乘会遭天谴。

为什么呢？

因为代数余子式取决于元素的位置。

k阶子式
取k行，取k列，相交重复的元素组成的行列式叫做k阶子式。

原始：
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right|$$

2阶子式的一种：（取第一，二行和第一二列）
$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right|$$

拉普拉斯定理

取k行，取k列组成的k阶子式和对应的代数余子式积之和 = D。

这是异乘变零定理的通用版。

当k=1的时候，就是按代数余子式进行的的展开了。

4. 行列式求值

4.1 常规求值

我们知道，当行列式变成上三角/下三角/或者对角型等特殊形状的时候，可以根据主对角线元素和次对角线元素知道$D=\sum a_{ii}$

所引，我们要根据行列式的性质对行列式进行变换，利用的是值不变和值变号的性质。

有以下几条：
【1】转置值不变
【2】交换值变号
【3】某一行乘以某个数加到另外一行值不变（最常用）

遵循这样的处理原则可以保证较少出错率：
先处理第一列，再处理第二列，第三列…

例题：

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ 9& 9& 10\end{array}\right|$ 求值 ？

第一步：处理第一列，目的是使第二行的首元素变成 0。第一行乘以（-1）加到第二行，乘以-9加到第三行。

其余列同理操作：

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ 9& 9& 10\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -3\\ 0& -9& -17\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -3\\ 0& 0& 10\end{array}\right|$

$$D=1\ast (-1)\ast (10)=-10$$

假如出现首行首元素=0的情况如何处理？

应该对行列式进行转置或者交换两行变换处理。

4.2 未知数行列式求值

【1】例题（提公因式法）：

$\left|\begin{array}{ccccc}x& a& a& ...& a\\ a& x& a& ...& a\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ a& a& a& ...& x\end{array}\right|$ 求值 ？

解：

观察行列式的特点，只有对角线上是x，其余都是a。注意不是对角型行列式。我们目的要把x提出行列式外面，剩下都是a好来计算。

把2…n列都加到第一列上面，会有
$$\left|\begin{array}{ccccc}x+(n-1)a& a& a& ...& a\\ x+(n-1)a& x& a& ...& a\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ x+(n-1)a& a& a& ...& x\end{array}\right|$$

把$x+(n-1)a$提到行列式外面。
$$(x+(n-1)a)\ast \left|\begin{array}{ccccc}1& a& a& ...& a\\ 1& x& a& ...& a\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& a& a& ...& x\end{array}\right|$$

再把第一列乘以-a，加到其余列上面去。
$$(x+(n-1)a)\ast \left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& ...& 0\\ 1& x-a& 0& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& 0& a& ...& x-a\end{array}\right|$$

结果：$(x+(n-1)a)\ast (x-a{)}^{n-1}$

【2】例题（加边法）：

$\left|\begin{array}{ccccc}1+a_1& 1& 1& ..& 1\\ 1& 1+a_2& 1& ..& 1\\ ..& ..& ..& ..& ..\\ 1& 1& 1& ..& 1+a_n\end{array}\right|$ 求值

解：
外面使用 加边法 进行解决。
加边的意思是加一行，加一列，但是不改变行列式的值。（根据代数余子式的展开可知）

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& ..& ..& ..\\ 0& ..& ..& ..\\ 0& ..& ..& ..\end{array}\right|$$

变成：
$$\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& ..& 1\\ 0& 1+a_1& 1& 1& ..& 1\\ 0& 1& 1+a_2& 1& ..& 1\\ ..& ..& ..& ..& ..& ..\\ 0& 1& 1& 1& ..& 1+a_n\end{array}\right|$$

然后，根据常规的解法（依次处理第一二三…列）即可。

【3】例题（三叉型行列式求值）

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ..& 1\\ -1& a_1& & & \\ -1& & a_2& & \\ -1& & & a_3& \\ ..& ..& ..& ..& ..\\ -1& ..& ..& ..& a_n\end{array}\right|$$ 求值
（其余是 0）
解：
三叉型行列的解法相对固定。致使出现：
$$\left|\begin{array}{cccc}x& 1& 1& 1\\ 0& ..& ..& ..\\ 0& ..& ..& ..\\ 0& ..& ..& ..\end{array}\right|$$
的形式。

外面对后面的列乘以1/a 进行列加，得到：
$$\left|\begin{array}{ccccc}x& 1& 1& ..& 1\\ 0& a_1& & & \\ 0& & a_2& & \\ 0& & & a_3& \\ ..& ..& ..& ..& ..\\ 0& ..& ..& ..& a_n\end{array}\right|$$
$$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$

$D=x\ast a_1\ast a_2\ast ...\ast a_n$

注意的是，外面还需要对a是否是0进行讨论。

假如 a 有>=1个是0，则D=0。

【4】例题（范德蒙德行列式）

$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 2& 3\\ 1& 1& 4& 9\\ 1& -1& 8& 27\end{array}\right|$ 求值

解：

这是范德蒙德行列式，形式如下：

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ..& 1\\ x_1& x_2& x_3& ..& x_n\\ ..& ..& ..& ..& ..\\ (x_1{)}^{n-1}& (x_2{)}^{n-1}& (x_3{)}^{n-1}& ..& (x_n{)}^{n-1}\end{array}\right|=\prod (x_i-x_j)$$
$$j<i$$
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 2& 3\\ 1^2& (-1{)}^2& 2^2& 3^2\\ 1^3& (-1{)}^3& 2^3& 3^3\end{array}\right|$$

当x=1，2，3，4
x=1：(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)=2*(-1)(-2)=4
x=2：(x2-x3)(x2-x4)=(-3)(-4)=12
x=3：(x3-x4)=(-1)=-1
x=4：无

D=-48

【5】例题：（反对称行列式和对称行列式求值）

求以下两个行列式的值：
$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -1& 0& -5\\ -2& 5& 0\end{array}\right|$ 和 $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right|$

如果是反对称行列式，奇数阶，D=0

解：
需要注意的是反对称行列式和对称行列式的要求不一样的。

• 反对称行列式要求主对角线全为0
• 陈队行列式对于主对角线没有要求

5. 行列式的运算

5.1 行列式的乘法

需要注意的是同阶的行列式才能相乘。

如果是行列式形式的话，元素的变换：第n行元素乘以第n列元素，逐元素相乘相加得到$A_{nm}$

如果为毛单单考究行列式的值的话，是满足：$D_1\ast D_2=D_3$ 的。

已知下面：$D_1=-6D_2=-12D_3=72$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right|\ast \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}5& 7& 6\\ 2& 4& 6\\ 9& 6& 3\end{array}\right|$$

5.2 行列式的加减法

不一定是同型的行列式才可以进行加减，所有行列式都可以进行。

时刻记住行列式是一个数，和矩阵不同，矩阵是个数表，行列式是方阵的一个属性。

6. 克莱姆法则

克莱姆法则用于解决方程组问题，而且只能解(方程个数=未知量个数）的方程。

公式也超级简单：$x_j=\frac{D_j}{D}$
注意满足：$D\ne 0$

$D_j$的意思用常数列替换掉第 j 列。

例子：
解方程：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2+5x_3=6\\ -x_1+x_2+6x_3=9\end{array}$$

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 5\\ -1& 1& 6\end{array}\right|D_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 6& -1& 5\\ 9& 1& 6\end{array}\right|$

我们可以看到，当常数项都是0的时候（齐次方程），$D_j=0$，就可以有这样一条著名的结论：齐次方程至少有零解。

那如果D=0的话克莱姆法则就不成立了，剩下的我们再线性方程组那章继续讨论。