数据库关系理论

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一、Armstrong’s Axiom(阿姆斯特朗公理)

费曼理解：X→Y，X依赖Y，就是可以由X推出Y

Inclusion rule(包含规则): if Y ⊆ X, then X→Y（X包含Y，那么X可以推出Y）
A2: Transitivity rule(传递规则): if X → Y and Y → Z , then X → Z
A3: Augmentation rule(增广规则): if X → Y, then XZ → YZ

Union rule(合并规则): if X → Y and X →Z, then X → YZ
Decomposition rule(分解规则): if X → YZ, then X → Y and X → Z

二、函数依赖集的闭包

1.概念

The set of all functional dependencies logically implied by F is the closure of F (函数依赖集的闭包), denoted by F +.

2.求α的函数依赖集的闭包的算法

如果左边的在结果中，那么右边的就可以并入到结果中。不断循环，直到循环一遍后没有新的加入。

Example: Given R, U = (A, B, C, D, E), F={B→CD, AD→E, B→A}, 那么(BC)+ = ?

1. result = BC
2. result = BCD (B→CD)
3. result = BCDA (B→A)
4. result = BCDAE (AD→E)
   (BC)+ = BCDAE

3.用处

To check if a functional dependency $\alpha \to \beta$ holds (or, in other words, is in F+), just check if $\beta \subseteq {\alpha }^{+}$

如果想看看 $\alpha \to \beta$依赖是否成立，那么只要求出$\alpha$的函数依赖集闭包${\alpha }^{+}$，只要看看$\beta$在不在其中。

例子：Example: for relation R, U = {A, B, C, D, E}, F = {AB→C, B→D, C→E, EC→B, AC→B }。IS BE→CD implied by F?

For (BE)F+＝{BED} , not include CD, so not implied.

二、覆盖Cover

1. 最小Minimal Cover

就是覆盖掉多余的函数依赖。（多余是指可以由多个依赖的推断出新的依赖）

• 传递性多余：
  {A → B, B → C，A → C}can be simplified to {A → B, B → C}。
  解释：为什么不留A→C，因为A→C不能显示A→B和B→C，而A → B, B → C可以推断出A→C。

• 右多余RHS: 将右边的使用分解规则，然后判断是否是传递性多余
  {A → B, B → C, A → CD}can be simplified to{A → B, B → C, A → D}
  解释：A → CD可以分解为A→C和A→D，而A→C是传递性多余。

• 左多余LHS:

  • 方法1（快速判断）：将左边的AC判断其各个元素的依赖关系，可以推出的元素就是多余的。
    {A → B, B → C, AC → D}can be simplified to {A → B, B → C, A → D}
    解释：{A → B, B → C}推出A→C，A可以推出C，那么C就是多余的。
  • 方法2（书面写法）：对左边的AC求其各个元素的函数依赖性闭包(其他元素就遮住)，如果其结果等于U（包含所有的元素），那么只保留其。
    解释：对于A，{A → B, B → C, A→ D}，$A^{+}$={ABCD}；对于C，{A → B, B → C, C→ D}，$C^{+}$={CD}
  • For $\alpha$ → $\beta$ in F, Attribute A is extraneous in $\alpha$ if F logically implies $\{F–(\alpha \to \beta )\}\cup \{(\alpha -A)\to \beta \}$.
    Then replace $\alpha \to \beta$ with $(\alpha –A)\to \beta$

Example: for relation R, U = {A, B, C}, F={A → BC, B → C, A → B, AB → C}
compute the minimal cover of F.

1. 右部分为单属性
   $F_1$= {A → B, A → C, B → C, AB → C}

2. 去掉左部冗余属性
   对AB → C，$(A)F_1^{+}$= {ABC}, 包含C，故用A → C替换之。
   F2 = {A → B, A → C, B → C}

3. 去掉多余函数依赖
   对A → C是多余，去掉，得Fmin = {A → B, B → C}

2.正则覆盖Canonical Cover

Example: for relation R, U = {A, B, C, D, E}, F = {A→BC, BCD→E, B→D, A→D, E→A}, compute the canonical cover of F.

1. 右部化为单一属性
   $F_1$={A→B, A→C, BCD→E, B→D, A→D, E→A}

2. 去掉左部冗余属性
   $(BC)F^{+}$={BCDEA}=U
   $F_2$＝{A→B, A→C, BC→E, B→D, A→D, E→A}

3. 去掉多余函数依赖
   for A→D because of (A)+F2-(A→D )=ABCED, is redundancy
   F3 = {A→B, A→C, BC→E, B→D, E→A}

4. 合并函数依赖,得Fc = {A→BC, BC→E, B→D, E→A}

三、候选码Candidate Key

1.四种类型的属性

For given relation schema R, attributes canbe：

• LHSA: attributes only appear in left hand side in FDS.（只出现在左边）
• RHSA: attributes only appear in right hand side in FDS.（只出现在右边）
• LRHSA: attributes appear in two sides in FDS.（两边都出现）
• NONA: attributes do NOT appear in FDS.（两边都没有出现）

可以作为候选码的是LHSA和NONA

2.算法

Algorithm to compute Candidate Key

• Step1: for LHSA and NONA, noted X.
  if $X_F^{+}$= U, then X is the only CK, end.

• Step2: for LRHSA, noted Y
  （对每个）for each attribute A in Y, if $(AX)F^{+}$ = U, then (AX) is a Cankidate Key, let Y = Y - { A }, goto step3.（到这里如果Y空了就结束了）

• Step3:
  （对每两个）for each pair of attributes Z in Y, if $(ZX)F^{+}$ = U, then (ZX) is a
  Cankidate Key, goto step4.

• Step4:
  （对每三个）for each three, four,…. Attributes Z in Y, if (ZX) do not include any Cankidate Key, if $(ZX)F^{+}$ = U, then (ZX) is a Cankidate Key. Until
  Z is all of the attributes in Y

Example: U = {A, B, C, D, E }, F = { AE→BC, AC→E, B→C, C→D, CE→B }

• Step1: X = {A} , Y = { B, C, E}
• Step2: $A^{+}$= {A}（看来不等于U要继续）
• Step3:
  $(AB{)}^{+}$ = {ABCDE} = U, CK
  $(AC{)}^{+}$ = {ACEDB} = U, CK
  $(AE{)}^{+}$ = {AEBCD} = U, CK
  Y = Φ
• End. The CK of R is AB, AC, AE