哎呀大水题。。我写了一个多小时。。好没救啊。。

数论板子X合一？

注意: 本文中变量名称区分大小写。

题意: 给一个\(n\)阶递推序列\(f_k=\prod^{n}_{i=1} f_{k-i}b_i\mod P\)其中\(P=998244353\), 输入\(b_1,b_2,...,b_n\)以及已知\(f_1,f_2,...,f_{n-1}=1\), 再给定一个数\(m\)和第\(m\)项的值\(f_m\), 求出一个合法的\(f_n\)值使得按照这个值递推出来的序列满足第\(m\)项的值为给定的\(f_m\).

题解: 首先一个显然的结论是\(f_m\)可以表示成\(\prod^{n}_{i=1} f_i^{a_i}\), 而且由于\(i=1,2,...,n-1\)时\(f_i\)的任何次幂都为\(1\), 因此就是\(f_m=f_n^{a}\). 令\(A(m)\)为\(f_m\)内\(f_n\)的次数，则有\(A[1..n]=[0,0,0,0,...,0,1]\), \(A_m=\sum^{n-1}_{i=1} A(m-i)b_i (m>n)\), 即\(A\)数组满足一个常系数线性递推序列。因此可以用矩阵乘法在\(O(n^3\log m)\)的时间内求出\(A(m)\). 注意因为是指数的运算(\((a^n)^m=a^{nm}\)), 根据费马小定理，这个指数应该模\(\phi(P)=P-1\)而不是\(P\) (\((a^n)^m\mod P=a^{nm\mod (P-1)}\mod P\))

求出来\(a=A(m)\)之后这题就变成了，\(f_m=f_n^a\mod P\), 已知\(f_m, a\), 求出一组合法的\(f_n\).

根据常识，\(998244353\)有原根\(3\), 我们下文令\(G=3\) (实际上任何一个原根均可). 设\(f_m=G^p, f_n=G^q\), 则有\(G^p\equiv (G^q)^a (\mod P)\), \(p\equiv qa(\mod P-1)\), 然后用BSGS求离散对数\(p\), exgcd解出\(q\)就可以了啊……

时间复杂度\(O(\sqrt P\log P+n^3\log P)\)

坑: 注意解同余方程的时候那个\(P\)的系数不要设成负的。

代码

#include
#include
#include
#include
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 100;
const int G = 3;
const int P = 998244353;
llong quickpow(llong x,llong y)
{
    llong cur = x,ret = 1ll;
    for(int i=0; y; i++)
    {
        if(y&(1ll< mp;
    void init()
    {
        llong bs = quickpow(G,B); llong j = 1ll;
        for(int i=0; i<=P; i+=B,j=(j*bs)%P)
        {
            mp[j] = i;
        }
    }
    llong Logarithm(llong x)
    {
        llong j = 1ll;
        for(int i=0; i<=B; i++,j=(j*G)%P)
        {
            llong tmp = x*j%P;
            if(mp.count(tmp))
            {
                llong ret = (mp[tmp]-i+(P-1))%(P-1);
                return ret;
            }
        }
        return P-1;
    }
}
Matrix mA,mB,mC;
llong a[N+3],b[N+3];
int n; llong m,p,q,lq,lx;

llong gcd(llong x,llong y) {return y==0 ? x : gcd(y,x%y);}
void exgcd(llong _a,llong _b,llong &_x,llong &_y)
{
    if(_b==0ll) {_x = 1ll,_y = 0ll; return;}
    exgcd(_b,_a%_b,_x,_y);
    llong tmp = _x; _x = _y; _y = tmp-(_a/_b)*_y;
}
llong CongruenceEquation(llong _a,llong _b,llong mod)
{
    llong g = gcd(_a,mod),x,y;
    exgcd(_a/g,mod/g,x,y);
    return (x*(_b/g)%mod+mod)%mod;
}

int main()
{
    BSGS::init();
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%I64d",&b[i]);
    scanf("%I64d",&m);
    mA = Matrix(1,n); mA.a[1][1] = 1ll;
    mB = Matrix(n); for(int i=1; i