现代通信原理2.5：确定信号的能量谱密度、功率谱密度与自相关函数

1、能量信号的能量谱密度

  我们首先回顾下帕塞瓦尔定理，对于能量信号$g(t)$，有
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|g(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|G(f){|}^{2}df.\text{\hspace{1em}(1)}$$从《现代通信原理2.2》中，我们知道，(1)为信号$g(t)$的能量，即
$${\mathcal{E}}_g={\int }_{-\infty }^{\infty }|g(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|G(f){|}^{2}df,\text{\hspace{1em}(2)}$$其中 $|G(f){|}^2$称为能量谱密度（energy spectral density，ESD)。

2、确定功率信号的功率谱密度

  对于功率信号，因为其能量为无穷大，因此我们考虑它的平均功率。若$g(t)$为实信号，它的平均功率为
$$\begin{array}{rl}{P}_g& =\overline{g^2(t)}\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{g}^2(t)dt\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }{g}_T^2(t)dt,\end{array}$$其中$g_T(t)=g(t)\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{t}{T})$为$g(t)$的截断函数，即将$g(t)$在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上的波形取出来，显然$g_T(t)$为能量信号，它的傅里叶变换为$G(f)$。进一步根据帕塞瓦尔定理，有
$$\begin{array}{rl}{P}_g& =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }{g}_T^2(t)dt\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }|G_T(f){|}^{2}df\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|G_T(f){|}^2}{T}\right]df.\end{array}$$因此，我们定义确定功率信号$g(t)$的功率谱密度为
$$P_g(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|G_T(f){|}^2}{T}(\mathrm{W}/\mathrm{H}\mathrm{z}),$$显然有
$$P_g={\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_g(f)df,$$这意味着，将功率谱密度在整个频率轴上积分，就得到信号的总功率。注意我们有单边功率谱密度和双边功率谱密度两种定义。通俗来说，若$g(t)$信号的平均功率为$P_g$，如果我们认为频率只存在正的值（事实上也确实如此），则所有功率都分布在正半轴上；而如果认为频率有正有负，，则功率都分布在正负两个半轴上。显然单边功率谱密度是双边的两倍，但积分之后的总功率不变。我们后面在白噪声的部分还会详细讨论这个问题。

3、确定信号的自相关函数与Wiener-Khintchine定理

  对于确定信号$g(t)$，我们定义它的相关函数为
$$R_g(\tau )\triangleq \overline{g(t)g(t+\tau )}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)g(t+\tau )dt,$$其自变量为$\tau$，表示时延的大小。显然$R_g(0)=P_g$。进一步，根据Wiener-Khintchine定理，有
$$R_g(\tau )\leftrightarrow P_g(f),$$即信号的自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。

  尽管我们在这一节定义了确定信号的能量谱密度、功率谱密度以及自相关函数，但事实上我们很少用功率谱密度等来分析确定信号，因为频谱密度就够了。在随机信号部分，我们将对随机信号的功率谱密度进行定义，我们将看到随机信号的功率谱密度是主要的频域特性。