LeetCode 115. 不同的子序列

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题目描述

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

示例 1：
输入：S = “rabbbit”, T = “rabbit”
输出：3
解释：

如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 “rabbit” 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^
示例 2：

输入：S = “babgbag”, T = “bag”
输出：5
解释：

如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 “bag” 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^ ^
babgbag
^ ^^
babgbag
^ ^^
babgbag
^^^

解题思路

当初搞信息竞赛的时候对DP掌握的就很差，现在得重新来过了，所以我们就从一开始的递归解法开始吧。

很多DP题目都可用递归来做，当然不能过掉全部的数据，但是我们可以用递归来找思路，然后再转化成记忆化搜索，最后优化成DP，是一个很好的思路。

首先得搞清楚一个问题，不论是递归还是DP，都要搞清楚这个问题所涉及的所有状态，哪些状态是对提供答案有用的，哪些是没用的，如果状态不清楚的话就很难进行下一步操作。

在这道题中，我们先来找哪些状态可以对提供答案有用。
①如果s[i]==t[j]
我们有两种选择
第一种即当前s[i]和t[j]相匹配，两个指针都往下一个移动。
第二种就是不用当前的s[i]和t[j]匹配，而是用下一个s[i+1]和t[j]去匹配，因为有可能出现 i 位置上和 i+1 位置上都是相同的，可以有选择的用哪一个来匹配。

②如果s[i]!=t[j]
那么 i 指针往下一个移动， j 指针不移动。

根据这几个状态我们就可以写出递归的程序，进而也就可以写出DP的程序代码。

程序代码

递归版

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int dfs(string s,string t,int i,int j) {
	if(j==t.size()) return 1;
	if(i==s.size()) return 0; 
	if(s[i]!=t[j]) return dfs(s,t,i+1,j);
	else if(s[i]==t[j]) return ( dfs(s,t,i+1,j) + dfs(s,t,i+1,j+1) ) ;
}
int main () {
	string s,t;
	cin>>s>>t;
	int ns=s.length();
	int nt=t.length();
	int ans=dfs(s,t,0,0);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

DP版

#include
#include
using namespace std;
string s,t;
int main() {
	cin>>s>>t;
	int ns=s.length();
	int nt=t.length();
	int dp[ns+1][nt+1];
	for(int j=0;j<=nt;++j) dp[0][j]=0;
	for(int i=0;i<=ns;++i) dp[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=ns;++i)
		for(int j=1;j<=nt;++j) 
			if(s[i-1]==t[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];
			else dp[i][j]=dp[i-1][j];
	cout<<dp[ns][nt]<<endl;

	return 0;
}