变上限积分无穷小比阶与导数的关系问题

变上限积分无穷小比阶与导数的关系问题

@(微积分)

（2004）把 x→0+ 时的无穷小 α=∫x0cost2dt,β=∫x20tant√dt,γ=∫x√0sint3dtds ,排在后面的是前面的高阶无穷小，则正确的排列顺序是？

分析：首先需要强调一点是：求导是降阶的。这在常识中是很自然的事情，但是容易被忽略，在无穷小的时候。比如求导以后看出函数与 x2 同阶，那么原函数其实是与 x3 同阶。

也需要注意，我们只说同阶，并未说等价，因为求导，求积分系数都有很复杂的变化，因此还需要更仔细的考量，不是直接说等价的。但同阶没有问题。

回到这里，很自然的思路是求导看一看。

dαdx=1⋅cosx2→1,当x→0时

因此意味着 α 与x同阶(比导数涨一阶)。

dβdx=2x⋅tanx→2x2,当x→0时

因此意味着 β 与 x3 同阶(比导数涨一阶)。

dγdx=12x√⋅sinx32→12x2,当x→0时

因此意味着 γ 与 x2 同阶。

因此， α,γ,β ,即按照 x,x2,x3 的顺序。

如果忽视了降阶的概念，直接用导数比阶也是对的顺序，但是同时不要忽视了：
(∫ϕ(x)af(t)dt)′=f(ϕ(x))(ϕ(x))′

常常是高兴了就把变上限的复合函数的导数扔了，这是不OK的。