正定二次型与正定矩阵

二次型正定的定义

n元实二次型$X^{\prime }AX$若满足：对$R^n$中任意非零列向量$\alpha$都有$${\alpha }^{\prime }A\alpha >0$$称A为正定的

半正定/(负)半负定/不定的定义

• 半正定:${\alpha }^{\prime }A\alpha \ge 0$
• 负定：${\alpha }^{\prime }A\alpha <0$
• 半负定：${\alpha }^{\prime }A\alpha \le 0$
• 除此之外，都是不定的

二次型正定充要条件

n元实二次型$X^{\prime }AX$是正定的$\iff A$的正惯性指数=n

矩阵正定+正定矩阵的定义

若实二次型$X^{\prime }AX$是正定的$\Rightarrow$实对称矩阵A称为正定的

正定的实对称矩阵称为正定矩阵

实对称矩阵正定的充要

n级实对称矩阵A是正定的

• $\iff$A的正惯性指数=n
• $\iff$ $A\simeq I$
• $\iff$ A的合同标准形中主对角元全>0
• $\iff$A的特征值都>0

推论1

与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵

推论2

• 与正定二次型等价的实二次型也正定
• So,非退化线性替换不改变实二次型的正定性

正定充要条件②

实对称矩阵A是正定的(二次型$X^{\prime }AX$正定)$\iff$ A的所有顺序主子式都>0

半正定充要条件①

n元实二次型$X^{\prime }AX$是半正定

• $\iff$惯性指数=秩
• $\iff$规范形是$$y_1^2+...+y_r^2$$
• $\iff$标准形中n各系数全非负
• 推论：n级实对称矩阵是半正定的
  • $\iff$惯性指数=秩
  • $\iff$ $A\simeq \left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right),r=rank(A)$
  • $\iff$A的合同标准形中的n个主对角元全$\ge 0$
  • $\iff$A的特征值都$\ge 0$

半正定充要条件②

实对称矩阵A半正定$\iff$A的所有主子式$\ge 0$

负定充要条件

实对称矩阵A负定$\iff$

• 它的所有奇数价顺序主子式<0
• 所有偶数价顺序主子式>0

Hesse矩阵

• 二元实值函数$F(x,y)$有一个稳定点$\alpha =(x_0,y_0)$ $(\frac{dF}{dx}{|}_{x=x_0}=0,\frac{dF}{dy}{|}_{y=y_0}=0)$
• $F(x,y)$在$(x_0,y_0)$的一个领域里有三阶连续偏导数
• 记$$H=\left(\begin{array}{cc}{F}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& F_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ F_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& F_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\end{array}\right)$$H称为$F(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的何塞矩阵（Hesse矩阵）
• $\Rightarrow$ H正定$\to$ $F(x,y)$在$(x_0,y_0)$处取得极小值
• $\Rightarrow$ H负定$\to$ $F(x,y)$在$(x_0,y_0)$处取得极大值

延伸：n元函数的Hesse矩阵

• $F(x_1,...,x_n)$有一个稳定点$\alpha =(a_1,...,a_n)$
• $F$在$\alpha$的一个领域有3阶连续偏导数
• 令$H=(F_{x_i{x}_j}^{\prime \prime }(\alpha ))$
• 结论同上