限于篇幅,我们只介绍二值图象的形态学运算,对于灰度图象的形态学运算,有兴趣的读者可以阅读有关的参考书。在程序中,为了处理的方便,还是采用256级灰度图,不过只用到了调色板中的0和255两项。
先来定义一些基本符号和关系。
1. 元素
设有一幅图象X,若点a在X的区域以内,则称a为X的元素,记作a∈X,如图6.1所示。
2. B包含于X
设有两幅图象B,X。对于B中所有的元素ai,都有ai∈X,则称B包含于(included in)X,记作B X,如图6.2所示。
3. B击中X
设有两幅图象B,X。若存在这样一个点,它即是B的元素,又是X的元素,则称B击中(hit)X,记作B↑X,如图6.3所示。
4. B不击中X
设有两幅图象B,X。若不存在任何一个点,它即是B的元素,又是X的元素,即B和X的交集是空,则称B不击中(miss)X,记作B∩X=Ф;其中∩是集合运算相交的符号,Ф表示空集。如图6.4所示。
图6.1 元素 |
图6.2 包含 |
图6.3 击中 |
图6.4 不击中 |
5. 补集
设有一幅图象X,所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集,记作Xc,如图6.5所示。显然,如果B∩X=Ф,则B在X的补集内,即B Xc。
图6.5 补集的示意图
6. 结构元素
设有两幅图象B,X。若X是被处理的对象,而B是用来处理X的,则称B为结构元素(structure element),又被形象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象。
7. 对称集
设有一幅图象B,将B中所有元素的坐标取反,即令(x,y)变成(-x,-y),所有这些点构成的新的集合称为B的对称集,记作Bv,如图6.6所示。
8. 平移
设有一幅图象B,有一个点a(x0,y0),将B平移a后的结果是,把B中所有元素的横坐标加x0,纵坐标加y0,即令(x,y)变成(x+x0,y+y0),所有这些点构成的新的集合称为B的平移,记作Ba,如图6.7所示。
图6.6 对称集的示意图 |
图6.7 平移的示意图 |
好了,介绍了这么多基本符号和关系,现在让我们应用这些符号和关系,看一下形态学的基本运算。
把结构元素B平移a后得到Ba,若Ba包含于X,我们记下这个a点,所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B腐蚀(Erosion)的结果。用公式表示为:E(X)={a| Ba X}=X B,如图6.8所示。
图6.8 腐蚀的示意图
图6.8中X是被处理的对象,B是结构元素。不难知道,对于任意一个在阴影部分的点a,Ba 包含于X,所以X被B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内,且比X小,就象X被剥掉了一层似的,这就是为什么叫腐蚀的原因。
值得注意的是,上面的B是对称的,即B的对称集Bv=B,所以X被B腐蚀的结果和X被 Bv腐蚀的结果是一样的。如果B不是对称的,让我们看看图6.9,就会发现X被B腐蚀的结果和X被 Bv腐蚀的结果不同。
图6.9 结构元素非对称时,腐蚀的结果不同
图6.8和图6.9都是示意图,让我们来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。
在图6.10中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),中间是结构元素B,那个标有origin的点是中心点,即当前处理元素的位置,我们在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是,拿B的中心点和X上的点一个一个地对比,如果B上的所有点都在X的范围内,则该点保留,否则将该点去掉;右边是腐蚀后的结果。可以看出,它仍在原来X的范围内,且比X包含的点要少,就象X被腐蚀掉了一层。
图6.10 腐蚀运算
图6.11为原图,图6.12为腐蚀后的结果图,能够很明显地看出腐蚀的效果。
图6.11 原图
图6.12 腐蚀后的结果图
下面的这段程序,实现了上述的腐蚀运算,针对的都是黑色点。参数中有一个BOOL变量,为真时,表示在水平方向进行腐蚀运算,即结构元素B为 ;否则在垂直方向上进行腐蚀运算,即结构元素B为 。
膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算,其定义是:把结构元素B平移a后得到Ba,若Ba击中X,我们记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为:D(X)={a | Ba↑X}=X B,如图6.13所示。图6.13中X是被处理的对象,B是结构元素,不难知道,对于任意一个在阴影部分的点a,Ba击中X,所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围,就象X膨胀了一圈似的,这就是为什么叫膨胀的原因。
同样,如果B不是对称的,X被B膨胀的结果和X被 Bv膨胀的结果不同。
让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。在图6.14中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),中间是结构元素B。膨胀的方法是,拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对,如果B上有一个点落在X的范围内,则该点就为黑;右边是膨胀后的结果。可以看出,它包括X的所有范围,就象X膨胀了一圈似的。
图6.13 膨胀的示意图
图6.14 膨胀运算
图6.15为图6.11膨胀后的结果图,能够很明显的看出膨胀的效果。
图6.15 图6.11膨胀后的结果图
下面的这段程序,实现了上述的膨胀运算,针对的都是黑色点。参数中有一个BOOL变量,为真时,表示在水平方向进行膨胀运算,即结构元素B为 ;否则在垂直方向上进行膨胀运算,即结构元素B为 。
腐蚀运算和膨胀运算互为对偶的,用公式表示为(X B)c=(Xc B),即X 被B腐蚀后的补集等于X的补集被B膨胀。这句话可以形象的理解为:河岸的补集为河面,河岸的腐蚀等价于河面的膨胀。你可以自己举个例子来验证一下这个关系。在有些情况下,这个对偶关系是非常有用的。例如:某个图象处理系统用硬件实现了腐蚀运算,那么不必再另搞一套膨胀的硬件,直接利用该对偶就可以实现了。
先腐蚀后膨胀称为开(open),即OPEN(X)=D(E(X))。
让我们来看一个开运算的例子(见图6.16):
图6.16开运算
在图16上面的两幅图中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),右边是结构元素B,下面的两幅图中左边是腐蚀后的结果;右边是在此基础上膨胀的结果。可以看到,原图经过开运算后,一些孤立的小点被去掉了。一般来说,开运算能够去除孤立的小点,毛刺和小桥(即连通两块区域的小点),而总的位置和形状不变。这就是开运算的作用。要注意的是,如果B是非对称的,进行开运算时要用B的对称集Bv膨胀,否则,开运算的结果和原图相比要发生平移。图6.17和图6.18能够说明这个问题。
图6.17 用B膨胀后,结果向左平移了
图6.18 用Bv膨胀后位置不变
图6.17是用B膨胀的,可以看到,OPEN(X)向左平移了。图18是用Bv膨胀的,可以看到,总的位置和形状不变。
图6.19为图6.11经过开运算后的结果。
图6.19 图6.11经过开运算后的结果
开运算的源程序可以很容易的根据上面的腐蚀,膨胀程序得到,这里就不给出了。
先膨胀后腐蚀称为闭(close),即CLOSE(X)=E(D(X))。
让我们来看一个闭运算的例子(见图6.20):
图6.20 闭运算
在图6.20上面的两幅图中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),右边是结构元素B,下面的两幅图中左边是膨胀后的结果,右边是在此基础上腐蚀的结果可以看到,原图经过闭运算后,断裂的地方被弥合了。一般来说,闭运算能够填平小湖(即小孔),弥合小裂缝,而总的位置和形状不变。这就是闭运算的作用。同样要注意的是,如果B是非对称的,进行闭运算时要用B的对称集Bv膨胀,否则,闭运算的结果和原图相比要发生平移。
图6.21为图6.11经过闭运算后的结果。
图6.21 图.611经过闭运算后的结果
闭运算的源程序可以很容易的根据上面的膨胀,腐蚀程序得到,这里就不给出了。
你大概已经猜到了,开和闭也是对偶运算,的确如此。用公式表示为(OPEN(X))c=CLOSE((Xc)),或者(CLOSE(X))c =OPEN((Xc))。即X 开运算的补集等于X的补集的闭运算,或者X 闭运算的补集等于X的补集的开运算。这句话可以这样来理解:在两个小岛之间有一座小桥,我们把岛和桥看做是处理对象X,则X的补集为大海。如果涨潮时将小桥和岛的外围淹没(相当于用尺寸比桥宽大的结构元素对X进行开运算),那么两个岛的分隔,相当于小桥两边海域的连通(对Xc做闭运算)。