数字形态学 腐蚀膨胀 开闭运算详解

数学形态学(Mathematical Morphology),是法国和德国的科学家在研究岩石结构时建立的一门学科。形态学的用途主要是获取物体拓扑和结构信息,它通过物体和结构元素相互作用的某些运算,得到物体更本质的形态。在图象处理中的应用主要是:(1)利用形态学的基本运算,对图象进行观察和处理,从而达到改善图象质量的目的;(2)描述和定义图象的各种几何参数和特征,如面积、周长、连通度、颗粒度、骨架和方向性等。


限于篇幅,我们只介绍二值图象的形态学运算,对于灰度图象的形态学运算,有兴趣的读者可以阅读有关的参考书。在程序中,为了处理的方便,还是采用256级灰度图,不过只用到了调色板中的0255两项。

先来定义一些基本符号和关系。

1.         元素

设有一幅图象X,若点aX的区域以内,则称aX的元素,记作aX,如图6.1所示。

2.         B包含于X

设有两幅图象BX。对于B中所有的元素ai,都有aiX,则称B包含于(included in)X,记作B  X,如图6.2所示。

3.         B击中X

设有两幅图象BX。若存在这样一个点,它即是B的元素,又是X的元素,则称B击中(hit)X,记作BX,如图6.3所示。

4.         B不击中X

设有两幅图象BX。若不存在任何一个点,它即是B的元素,又是X的元素,即BX的交集是空,则称B不击中(miss)X,记作BX=Ф;其中∩是集合运算相交的符号,Ф表示空集。如图6.4所示。

6.1     元素

6.2     包含

6.3     击中

6.4     不击中

5.         补集

设有一幅图象X,所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集,记作Xc,如图6.5所示。显然,如果BX=Ф,则BX的补集内,即B  Xc

6.5     补集的示意图

6.         结构元素

设有两幅图象BX。若X是被处理的对象,而B是用来处理X的,则称B为结构元素(structure element),又被形象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象。

7.         对称集

设有一幅图象B,将B中所有元素的坐标取反,即令(xy)变成(-x-y),所有这些点构成的新的集合称为B的对称集,记作Bv,如图6.6所示。

8.         平移

设有一幅图象B,有一个点a(x0,y0),将B平移a后的结果是,把B中所有元素的横坐标加x0,纵坐标加y0,即令(xy)变成(x+x0y+y0),所有这些点构成的新的集合称为B的平移,记作Ba,如图6.7所示。

6.6     对称集的示意图

6.7     平移的示意图

好了,介绍了这么多基本符号和关系,现在让我们应用这些符号和关系,看一下形态学的基本运算。



腐蚀

把结构元素B平移a后得到Ba,若Ba包含于X,我们记下这个a点,所有满足上述条件的a点组成的集合称做XB腐蚀(Erosion)的结果。用公式表示为:E(X)={a| Ba  X}=X  B,如图6.8所示。

6.8     腐蚀的示意图

6.8X是被处理的对象,B是结构元素。不难知道,对于任意一个在阴影部分的点aBa 包含于X,所以XB腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内,且比X小,就象X被剥掉了一层似的,这就是为什么叫腐蚀的原因。

值得注意的是,上面的B是对称的,即B的对称集Bv=B,所以XB腐蚀的结果和X Bv腐蚀的结果是一样的。如果B不是对称的,让我们看看图6.9,就会发现XB腐蚀的结果和X Bv腐蚀的结果不同。

6.9     结构元素非对称时,腐蚀的结果不同

6.8和图6.9都是示意图,让我们来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。

在图6.10中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),中间是结构元素B,那个标有origin的点是中心点,即当前处理元素的位置,我们在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是,拿B的中心点和X上的点一个一个地对比,如果B上的所有点都在X的范围内,则该点保留,否则将该点去掉;右边是腐蚀后的结果。可以看出,它仍在原来X的范围内,且比X包含的点要少,就象X被腐蚀掉了一层。

6.10   腐蚀运算

6.11为原图,图6.12为腐蚀后的结果图,能够很明显地看出腐蚀的效果。

6.11    原图

6.12   腐蚀后的结果图

下面的这段程序,实现了上述的腐蚀运算,针对的都是黑色点。参数中有一个BOOL变量,为真时,表示在水平方向进行腐蚀运算,即结构元素B  ;否则在垂直方向上进行腐蚀运算,即结构元素B  

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)BOOL Erosion(HWND hWnd,BOOL Hori)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
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{
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       DWORD                             OffBits,BufSize;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)LPBITMAPINFOHEADER    lpImgData;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       LPSTR                   lpPtr;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       HLOCAL                  hTempImgData;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       LPBITMAPINFOHEADER    lpTempImgData;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       LPSTR                            lpTempPtr;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       HDC                      hDc;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       HFILE                    hf;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       LONG                    x,y;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       unsigned 
char              num;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
int                        i;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
//为了处理方便,仍采用256级灰度图,不过只用调色板中0和255两项
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
if( NumColors!=256){  
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)           MessageBox(hWnd,
"Must be a mono bitmap with grayscale palette!",
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
"Error Message",MB_OK|MB_ICONEXCLAMATION);
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return FALSE;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)}

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)OffBits
=bf.bfOffBits-sizeof(BITMAPFILEHEADER);
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//BufSize为缓冲区大小
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       BufSize
=OffBits+bi.biHeight*LineBytes;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
//为新的缓冲区分配内存
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
if((hTempImgData=LocalAlloc(LHND,BufSize))==NULL)
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
{
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)            MessageBox(hWnd,
"Error alloc memory!","Error Message",
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)MB_OK
|MB_ICONEXCLAMATION);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
return FALSE;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)    }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)     lpImgData
=(LPBITMAPINFOHEADER)GlobalLock(hImgData);    
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       lpTempImgData
=(LPBITMAPINFOHEADER)LocalLock(hTempImgData);
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
//拷贝头信息和位图数据     
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       memcpy(lpTempImgData,lpImgData,BufSize);
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if(Hori)
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{   
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
//在水平方向进行腐蚀运算
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)              
for(y=0;y<bi.biHeight;y++){
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     
//lpPtr指向原图数据,lpTempPtr指向新图数据
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     lpPtr
=(char *)lpImgData+(BufSize-LineBytes-y*LineBytes)+1;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     lpTempPtr
=(char*)lpTempImgData+
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)(BufSize
-LineBytes-y*LineBytes)+1;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     
for(x=1;x<bi.biWidth-1;x++)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
//注意为防止越界,x的范围从1到宽度-2
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            num
=(unsigned char)*lpPtr;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            
if (num==0){  //因为腐蚀掉的是黑点,所以只对黑点处理
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                   
*lpTempPtr=(unsigned char)0;  //先置成黑点
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                   
for(i=0;i<3;i++){
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                          num
=(unsigned char)*(lpPtr+i-1);
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                          
if(num==255)
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
//自身及上下邻居中若有一个不是黑点,则将该点腐
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
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//蚀成白点
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                                 
*lpTempPtr=(unsigned char)255;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                                 
break;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                          }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                   }

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            }

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//原图中就是白点的,新图中仍是白点
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            
else *lpTempPtr=(unsigned char)255;  
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            
//指向下一个象素
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            lpPtr
++
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            lpTempPtr
++;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)              }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       }

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else
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//在垂直方向进行腐蚀运算
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)              
for(y=1;y<bi.biHeight-1;y++)//注意为防止越界,y的范围从1到高度-2
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     
//lpPtr指向原图数据,lpTempPtr指向新图数据
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     lpPtr
=(char *)lpImgData+(BufSize-LineBytes-y*LineBytes);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     lpTempPtr
=(char *)lpTempImgData+(BufSize-LineBytes-y*LineBytes);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     
for(x=0;x<bi.biWidth;x++){
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            num
=(unsigned char)*lpPtr;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            
if (num==0)//因为腐蚀掉的是黑点,所以只对黑点处理
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                   
*lpTempPtr=(unsigned char)0//先置成黑点
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                   
for(i=0;i<3;i++){
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                          num
=(unsigned char)*(lpPtr+(i-1)*LineBytes);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                          
if(num==255){
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//自身及上下邻居中若有一个不是黑点,则将该点腐
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
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//蚀成白点
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                                 
*lpTempPtr=(unsigned char)255;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                                 
break;
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                          }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                   }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            }

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//原图中就是白点的,新图中仍是白点
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            
else *lpTempPtr=(unsigned char)255;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            
//指向下一个象素
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            lpPtr
++;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                            lpTempPtr
++;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                     }

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)              }

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       }

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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)    
if(hBitmap!=NULL)
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)           DeleteObject(hBitmap);
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       hDc
=GetDC(hWnd);     
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
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//产生新的位图
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       hBitmap
=CreateDIBitmap(hDc,(LPBITMAPINFOHEADER)lpTempImgData,
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[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)(LONG)CBM_INIT,
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)(LPSTR)lpTempImgData
+
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
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sizeof(BITMAPINFOHEADER)+
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)                                         NumColors
*sizeof(RGBQUAD),
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)(LPBITMAPINFO)lpTempImgData, DIB_RGB_COLORS);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
//起不同的结果文件名
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
if(Hori)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)              hf
=_lcreat("c:\herosion.bmp",0);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
else
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)              hf
=_lcreat("c:\verosion.bmp",0);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       _lwrite(hf,(LPSTR)
&bf,sizeof(BITMAPFILEHEADER)); 
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       _lwrite(hf,(LPSTR)lpTempImgData,BufSize);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       _lclose(hf);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
//释放内存及资源
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)ReleaseDC(hWnd,hDc);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       LocalUnlock(hTempImgData);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       LocalFree(hTempImgData);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       GlobalUnlock(hImgData);
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)       
return TRUE;
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)}

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)
[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)

 



膨胀

膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算,其定义是:把结构元素B平移a后得到Ba,若Ba击中X,我们记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做XB膨胀的结果。用公式表示为:D(X)={a | BaX}=X  B,如图6.13所示。图6.13X是被处理的对象,B是结构元素,不难知道,对于任意一个在阴影部分的点aBa击中X,所以XB膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围,就象X膨胀了一圈似的,这就是为什么叫膨胀的原因。

同样,如果B不是对称的,XB膨胀的结果和X Bv膨胀的结果不同。

让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。在图6.14中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),中间是结构元素B。膨胀的方法是,拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对,如果B上有一个点落在X的范围内,则该点就为黑;右边是膨胀后的结果。可以看出,它包括X的所有范围,就象X膨胀了一圈似的。

6.13   膨胀的示意图

6.14   膨胀运算

6.15为图6.11膨胀后的结果图,能够很明显的看出膨胀的效果。

6.15   6.11膨胀后的结果图

下面的这段程序,实现了上述的膨胀运算,针对的都是黑色点。参数中有一个BOOL变量,为真时,表示在水平方向进行膨胀运算,即结构元素B  ;否则在垂直方向上进行膨胀运算,即结构元素B  

 

[转载]腐蚀,膨胀,细化算法(1)BOOL Dilation(HWND hWnd,BOOL Hori)

 

腐蚀运算和膨胀运算互为对偶的,用公式表示为(X  B)c=(Xc  B),即X B腐蚀后的补集等于X的补集被B膨胀。这句话可以形象的理解为:河岸的补集为河面,河岸的腐蚀等价于河面的膨胀。你可以自己举个例子来验证一下这个关系。在有些情况下,这个对偶关系是非常有用的。例如:某个图象处理系统用硬件实现了腐蚀运算,那么不必再另搞一套膨胀的硬件,直接利用该对偶就可以实现了。



先腐蚀后膨胀称为开(open),即OPEN(X)=D(E(X))

让我们来看一个开运算的例子(见图6.16)

6.16开运算

在图16上面的两幅图中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),右边是结构元素B,下面的两幅图中左边是腐蚀后的结果;右边是在此基础上膨胀的结果。可以看到,原图经过开运算后,一些孤立的小点被去掉了。一般来说,开运算能够去除孤立的小点,毛刺和小桥(即连通两块区域的小点),而总的位置和形状不变。这就是开运算的作用。要注意的是,如果B是非对称的,进行开运算时要用B的对称集Bv膨胀,否则,开运算的结果和原图相比要发生平移。图6.17和图6.18能够说明这个问题。

6.17 B膨胀后,结果向左平移了

6.18   Bv膨胀后位置不变

6.17是用B膨胀的,可以看到,OPEN(X)向左平移了。图18是用Bv膨胀的,可以看到,总的位置和形状不变。

6.19为图6.11经过开运算后的结果。

6.19   6.11经过开运算后的结果

开运算的源程序可以很容易的根据上面的腐蚀,膨胀程序得到,这里就不给出了。



先膨胀后腐蚀称为闭(close),即CLOSE(X)=E(D(X))

让我们来看一个闭运算的例子(见图6.20)

6.20   闭运算

在图6.20上面的两幅图中,左边是被处理的图象X(二值图象,我们针对的是黑点),右边是结构元素B,下面的两幅图中左边是膨胀后的结果,右边是在此基础上腐蚀的结果可以看到,原图经过闭运算后,断裂的地方被弥合了。一般来说,闭运算能够填平小湖(即小孔),弥合小裂缝,而总的位置和形状不变。这就是闭运算的作用。同样要注意的是,如果B是非对称的,进行闭运算时要用B的对称集Bv膨胀,否则,闭运算的结果和原图相比要发生平移。

6.21为图6.11经过闭运算后的结果。

6.21   .611经过闭运算后的结果

闭运算的源程序可以很容易的根据上面的膨胀,腐蚀程序得到,这里就不给出了。

你大概已经猜到了,开和闭也是对偶运算,的确如此。用公式表示为(OPEN(X))c=CLOSE((Xc)),或者(CLOSE(X))c =OPEN((Xc))。即X 开运算的补集等于X的补集的闭运算,或者X 闭运算的补集等于X的补集的开运算。这句话可以这样来理解:在两个小岛之间有一座小桥,我们把岛和桥看做是处理对象X,则X的补集为大海。如果涨潮时将小桥和岛的外围淹没(相当于用尺寸比桥宽大的结构元素对X进行开运算),那么两个岛的分隔,相当于小桥两边海域的连通(Xc做闭运算)

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