黄金连分数（斐波那契数列、大数运算）正确解法

标题: 黄金连分数
    黄金分割数0.61803... 是个无理数，这个常数十分重要，在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。

    对于某些精密工程，常数的精度很重要。也许你听说过哈勃太空望远镜，它首次升空后就发现了一处人工加工错误，对那样一      个庞然大物，其实只是镜面加工时有比头发丝还细许多倍的一处错误而已，却使它成了“近视眼”!!
    言归正传，我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢？有许多方法。

    比较简单的一种是用连分数：

                  1
    黄金数 = ---------------------
                        1
             1 + -----------------
                          1
                 1 + -------------
                            1
                     1 + ---------
                          1 + ...                    

    这个连分数计算的“层数”越多，它的值越接近黄金分割数。

    请你利用这一特性，求出黄金分割数的足够精确值，要求四舍五入到小数点后100位。

    小数点后3位的值为：0.618
    小数点后4位的值为：0.6180
    小数点后5位的值为：0.61803
    小数点后7位的值为：0.6180340
   （注意尾部的0，不能忽略）

你的任务是：写出精确到小数点后100位精度的黄金分割值。

注意：尾数的四舍五入！ 尾数是0也要保留！

显然答案是一个小数，其小数点后有100位数字，请通过浏览器直接提交该数字。
注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。

解题思路：

此题在网上看过若干解法，大同小异，但基本都是错误的。

下面是一种正确解法。

首先，题目所说的黄金连分数实际上就是求解某一项斐波那契数列n/n+1项的比值，要精确到小数点100位。

此题网上解法错误在于大多使用了较小项的斐波那契数，一般在40到70项，实际上，100位精确小数是要做到无误差的，因此必须不断加大斐波那契的项数不断测试，下面我给出一个图，大家就明白了。

实际上这个比值在102项/101项斐波那契数的时候才开始不再变化，即为我们要求的结果。

因此难度在于100多项斐波那契数的时候，我们的整型是无法计算如此大的数据。因此需要通过大数加法以及大数除法实现计算。

下面给出代码:

#include
#include
#include
using namespace std;
//思路：由黄金连分数可转化为求解斐波那契数，运用大数运算求解小数点后一百位

//n表示斐波那契数列第一百项
int n = 100; 
int cmp(string a, string b)
{
	if (a == b) return 0;
	else if (a.length() < b.length()) return -1;
	else if (a.length() > b.length()) return 1;
	else
	{
		if (a > b) return 1;
		if (a < b) return -1;
		return -1;
	}
}

//大数相加，较大斐波那契数无法算出，只能通过大数计算
string add(string a, string b)
{
	//去掉开头的0,substr(a,n) 返回第a位开始长度为n的字符串
	//find_first_not_of（"abc"）返回最先匹配到abc任意一个字符的最后位置
	a = a.substr(a.find_first_not_of('0'));
	b = b.substr(a.find_first_not_of('0'));

	long long lenA = a.length();
	long long lenB = b.length();
	long long len = max(lenA, lenB) + 10;
	//反转， 便于从最低位逐位求和
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	string ans(len, '0');
	for (int i = 0; i < lenA; i++)
	{
		ans[i] = a[i];
	}
	//通过模拟手工计算来进行大数相加，temp用来存储上下两位相加的结果
	int temp = 0;
	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		if (i < lenB)
		{
			temp += ((ans[i] - '0') + (b[i] - '0'));
			ans[i] = temp % 10 + '0';
			temp /= 10;
		}
		else
		{
			temp += (ans[i] - '0');
			ans[i] = temp % 10 + '0';
			temp /= 10;
		}
	}
	//ans存储的结果最后要反转回来去掉开头的0
	reverse(ans.begin(), ans.end());
	return ans.substr(ans.find_first_not_of('0'));
}

//大数相减
string substract(string a, string b)
{
	//a必须大于b,实际上在divide（）中，a已经>=b了
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	//将a复制给ans
	string ans = a;
	//依旧是模拟手工减法计算
	for (int i = 0; i < b.length(); i++)
	{
		if (ans[i] >= b[i])
		{
			ans[i] = ans[i] - b[i] + '0';
		}
		//注意：在被减数不够减的情况下，需要向前借位，
		//可能被借位为0也不够借，继续往前寻找不为0的位，通过一个while循环实现
		else
		{
			int k = 1;
			while (ans[i + k] == '0')
			{
				//0被借位变为9
				ans[i + k] = '9';
				k++;
			}
			//最终i+k位不为0可以被借-1，i位+10
			ans[i + k] = ans[i + k] - 1;
			ans[i] = ans[i] + 10 - b[i] + '0';
		}
	}
	reverse(ans.begin(), ans.end());
	return ans.substr(ans.find_first_not_of('0'));
}

//大数相除
string divide(string a, string b)
{
	//前提 a < b 实际题目已满足
	//大数除法实际上是模拟除法运算结合大数减法
	string ans = "0.";
	for (int i = 0; i < 101; i++) //保留101项，保证四舍五入
	{
		// (a*10)/b = t 不过其中除法用减法substract代替
		a.append(1,'0');
		int t = 0;
		while (cmp(a, b) >= 0)
		{
			a = substract(a, b);
			t++;
		}
		ans.append(1,t + '0');
	}
	return ans;
}
int main()
{
	//斐波那契数列前两项
	string a = "1";
	string b = "1";
	for (int k = 0; k < 40; k++)
	{
		//求解斐波那契数列100-140各项与前一项的比值（所谓黄金连分数）
		for (int i = 3; i < n+k; i++)
		{
			string temp = b;
			b = add(a, b);
			a = temp;
		}
		
		string ans = divide(a, b);
		cout << 100+k  << "项  " <