入门算法-穷举法（计算完全数和求解幂集问题）

写在前面，关于穷举法的定义自行去Google，在我的理解就是暴力求解，把所有可能都推算出来，这对于自己没有其他策略和解题思路的情况下，可以使用穷举法，但是其弊端也是很明显的，相对于其他算法思想来说时间复杂度是极高的，所以慎用。

一、使用技术

蛮力法所赖的基本技术——扫描技术
基本的扫描技术——遍历
（1）集合的遍历：按集合中元素序号的顺序处理各元素
（2）线性表的遍历：以数组形式存储，按下标顺序处理
（3）树的遍历：对二叉树，包括前序、中序、后序和层序
（4）图的遍历：深度优先、广度优先

二、适用范围

（1）理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题。
（2）蛮力法经常用来解决一些较小规模的问题。
（3）对于某些问题,蛮力法可以产生一些合理的算法，他们具备一定实用价值，而且不受问题规模的限制。
（4）蛮力法可以作为某类问题时间性能的底限，作为衡量同样问题效率的基础算法。

三、求解过程

根据问题中的条件将可能的情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足问题条件的解。但有时列举的情况数目很大，则需要排除一些明显不合理的情况，以减少问题可能解规模。
用蛮力法解决问题，通常从两个方面进行算法设计：
1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。
2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并用逻辑表达式表示。

四、基本格式

五、例题

1、编写一个程序，输出2～1000之间的所有完全数。所谓完全数，是指这样的数，该数的各因子（除该数本身外）之和正好等于该数本身，例如：
　　6=1+2+3
　　28=1+2+4+7+14
解：先考虑对于一个整数m，如何判断它是否为完全数。从数学知识可知：一个数m的除该数本身外的所有因子都在1～m/2之间。算法中要取得因子之和，只要在1～m/2之间找到所有整除m的数，将其累加起来即可。如果累加和与m本身相等，则表示m是一个完全数，可以将m 输出。

//  main.cpp
//  dome4
//
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//

#include 
#include 
using namespace std;
方法1
int main()
{
    int i,j,n;
    cout<<"2-1000内的所有完数有：";
    for(i=2; i<=1000; i++)
    {
        n=1;
        for(j=2; j<sqrt(i); j++)
            if(i%j==0)
                n+=(j+i/j);
        if(i==n)
            cout<<i<<" ";
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}
//方法2
int main(){
    int i,j,n;
    cout<<"2-1000内的所有完数有：";
    for(i=2; i<=1000; i++)
    {
        n=1;
        for(j=2; j<=i/2; j++)
            if(i%j==0)
                n+=j;
        if(i==n)
            cout<<i<<" ";
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}

2、问题描述：对于给定的正整数n（n≥1），求1～n构成的集合的所有子集（幂集）。
幂集（Power Set）：原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族
n为3时，集合为：{1, 2, 3}
所有的子集为：{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
总次数=2的n次方

void first(int b[],int n);

int main(){
    int n = 3;
    int a[3] = {1,2,3};
    int b[3] = {0,0,0};
    int i, k;
    int pw = pow(2, n);
    cout << "1—" << n << "的幂集" << endl;
for (i = 0; i < pw; i++) {              
cout << "{";
        for (k = 0; k < n; k++)
            if (b[k])
                cout << a[k];
        cout << "}";
        first(b, n);
    
}
}

void first(int b[],int n){
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if(b[i])
            b[i] = 0;
        else{
            b[i] = 1;
            break;
        }
    }
}

当然，求解幂问题还可以使用回溯法和动态规划法，在这里我仅此列举穷举法，有兴趣的同学们可以自行google。