【图像处理】快速傅里叶变换FFT MATLAB

FFT快速傅里叶变换介绍

当初学习FFT的时候就一直觉得这玩意真的是天才的创造。
我们知道DFT的公式:
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
为了方便后续推到，我们一般假设$N=2^{\mu }$
上述公式可以拆分成左边的奇数部分和右边的偶数部分.
$$\begin{gathered} X[k]=\sum _{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2m]e^{-j\frac{2\pi }{N}k2m}+\sum _{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2m+1]e^{-j\frac{2\pi }{N}k(2m+1)} \\ =\sum _{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2m]e^{-j\frac{2\pi km}{\frac{N}{2}}}+e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}\sum _{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2m+1]e^{-j\frac{2\pi km}{\frac{N}{2}}} \end{gathered}$$
将奇数部分和偶数部分分别记为$Xeven[k]$和$Xodd[k]$得到
$$\begin{gathered} X[k]=Xe[k]+e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}Xo[k] \\ Xeven[k]=\sum _{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2m]e^{-j\frac{2\pi km}{\frac{N}{2}}} \\ Xodd[k]=\sum _{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2m+1]e^{-j\frac{2\pi km}{\frac{N}{2}}} \\ k=0,1,...,N-1 \end{gathered}$$
其中$k=0,1,...,N-1$对于每个k,有:
$C(k)=C(Multiflication,Addition)=(1,1)$
对于所有的k来说,$C=(N,N)$
那么接下来将$Xeven[k]$和$Xodd[k]$再次分为奇数项和偶数项$Xee[k]$ $Xeo[k]$和$Xoe[k]$ $Xoo[k]$
不断地向下分,直到不能分为止,我们就得到了下面的树状图:

由于上述假设了$N=2^{\mu }$,所以树状图共有$\mu ={\log }_{2}N$级,我们定义最底层的算法复杂度为$C1$,则最顶端的算法复杂度为
$$C\mu =(N,N)$$
则
$$\begin{gathered} C\mu -1=2(\frac{N}{2},\frac{N}{2})=(N,N)每组有\frac{N}{2}个点,共2组 \\ ... \\ ... \\ C\mu -i=2^i(\frac{N}{2^i},\frac{N}{2^i})=(N,N)每组有2^i个点,共2^i组 \end{gathered}$$
所以每层向上一层的计算次数都是(N,N)，求和得到总的蝶形运算次数：
$$C=\sum _{i=1}^{N}Ci=\mu (N,N)=(N{\log }_{2}N,N{\log }_{2}N)=O(N{\log }_{2}N)$$
而正常的傅里叶变换为$O(N^2)$

举个例子说明这是多么大的飞跃:
假设计算机的单次计算速度为$T=10^{-8}sec$,共有$N=2^{20}$个数据
$$\begin{gathered} Tdft=N^{2}T=10^{4}sec=2.8h \\ Tfft=N{\log }_{2}NT=0.2sec \end{gathered}$$
差了好多好多倍啊!!!

MATLAB代码

matlab有现成的fft2函数来做快速傅里叶变换。

%% Q3 2D-FFT
raw_image=imread('hh.jpg'); % read image
image=im2double(rgb2gray(raw_image));
tic % start counting
F=fft2(image); % 2D FFT
toc % stop counting
subplot(1,2,1),imshow(raw_image),title('raw');
subplot(1,2,2),imshow(F),title('2D-FFT');

用时0.001086 秒。超级快。
往期相关文章：二维DFT，一维DFT叠加