算法---之快速幂算法

一、快速幂——反复平方法

该怎样去加速幂运算的过程呢？既然我们觉得将幂运算分为n步进行太慢，那我们就要想办法减少步骤，把其中的某一部分合成一步来进行。

比如，如果n

能被2整除，那我们可以先计算一半，得到an/2

的值，再把这个值平方得出结果。这样做虽然有优化，但优化的程度很小，仍是线性的复杂度。

再比如，如果我们能找到2k=n

，那我们就能把原来的运算优化成((a2)2)2...，只需要k次运算就可以完成，效率大大提升。可惜的是，这种条件显然太苛刻了，适用范围很小。不过这给了我们一种思路，虽然我们很难找到2k=n，但我们能够找到2k1+2k2+2k3+......+2km=n

。这样，我们可以通过递推，在很短的时间内求出各个项的值。

我们都学习过进制与进制的转换，知道一个b

进制数的值可以表示为各个数位的值与权值之积的总和。比如，2进制数1001，它的值可以表示为10进制的1×23+0×22+0×21+1×20，即9。这完美地符合了上面的要求。可以通过2进制来把n转化成2km的序列之和，而2进制中第i位（从右边开始计数，值为1或是0）则标记了对应的2i−1是否存在于序列之中。譬如，13为二进制的1101，他可以表示为23+22+20，其中由于第二位为0，21

项被舍去。

如此一来，我们只需要计算a、a2、a4、a8......a2km

的值（这个序列中的项不一定都存在，由n

的二进制决定）并把它们乘起来即可完成整个幂运算。借助位运算的操作，可以很方便地实现这一算法，其复杂度为O(logn)。

typedef long long ll;
ll mod;
ll qpow(ll a, ll n)//计算a^n % mod
{
    ll re = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1)//判断n的最后一位是否为1
            re = (re * a) % mod;
        n >>= 1;//舍去n的最后一位
        a = (a * a) % mod;//将a平方
    }
    return re % mod;
}

取模运算一般情况下是需要的，当然也可以省去。

注：如果是最原始的方法求幂次方，n次方就需要n此循环，而快速幂算法，虽然不会像（

2k=n，那我们就能把原来的运算优化成((a2)2)2...，只需要k次循环运算就可以完成），但是也可以10进制的1×23+0×22+0×21+1×20，比较少的此书就完成

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