网络流的最大流入门（从普通算法到dinic优化）
网络流(network-flows)是一种类比水流的解决问题方法，与线性规划密切相关。网络流的理论和应用在不断发展。而我们今天要讲的就是网络流里的一种常见问题——最大流问题。
最大流问题(maximum flow problem)，一种组合最优化问题，就是要讨论如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大，以取得最好的效果。求最大流的标号算法最早由福特和福克逊与与1956年提出，20世纪50年代福特(Ford)、(Fulkerson)建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成成分。
再解决这个问题前，我们要先弄懂一些定义：
网络流图是一张只有一个源点和汇点的有向图，而最大流就是求源点到汇点间的最大水流量，下图的问题就是一个最基本，经典的最大流问题
二.流量，容量和可行流
对于弧(u,v)来说，流量就是其上流过的水量(我们通常用f(u,v)表示)，而容量就是其上可流过的最大水量(我们通常用c(u,v)表示)，只要满足f(u,v)<=c(u,v)，我们就称流量f(u,v)是可行流(对于最大流问题而言，所有管道上的流量必须都是可行流)。
三.增广路
如果一条路上的所有边均满足:
正向边: f(u,v)< c(u,v) ——– 反向边：f(u,v)> 0
则我们称这条路径为一条增广路径，简称增广路。
好了，弄懂了一些定义，接下来就可以介绍著名的Ford-Fulkerson算法了。
如图所示，如果我们每次都找出一条增广路，只要这条增广路经过汇点，那说明此时水流还可以增加，增加的量为d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。
我们可以这样理解：对于每一条正向边，他能添加的最大水流为c(u,v)-f(u,v)。而对于反向边来说，当正向边上的水流增多时，反向边自身的反向水流会减少，而其能减少的最多水量为f(u,v)。由于要保证添加水流之后，所有的f(u,v)都是可行流，所以我们取最小值。
增加之后，我们要更新流量，每条正向边+d,每条反向边-d即可。
既然这样，我们的思路就是：
1.找出一条增广路径 ——2.修改其上点的值——3.继续重复1，直至找不出增广路。则此时源点的汇出量即为所求的最大流。
那么上代码：
#includeq[h];
for(int i=1;i<=n;i++){
if(flag[i]==-1){
if(edge[v][i].c0;pre[i]=v;alpha[i]=min(alpha[v],edge[v][i].c-edge[v][i].f);q[++t]=i;
}
else if(edge[i][v].c0){
flag[i]=0;pre[i]=-v;alpha[i]=min(alpha[v],edge[i][v].f);q[++t]=i;
}
}
}
flag[v]=1;
}
}
void Ford_Fulkerson(){
while(1){
bfs();
if(alpha[en]==0||flag[en]==-1){
break;
}
int k1=en,k2=abs(pre[k1]);int a=alpha[en];
while(1){
if(edge[k2][k1].celse if(edge[k1][k2].cif(k2==st) break;
k1=k2;k2=abs(pre[k1]);
}
alpha[en]=0;
}
}
void flow(){
int maxflow=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==st&&edge[i][j].fprintf("%d",maxflow);
}
int main(){
int u,v,c,f;
n=read();m=read();st=read();en=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) edge[i][j].c=INF,edge[i][j].f=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
u=read();v=read();c=read();
edge[u][v].c=c;
}
Ford_Fulkerson();
flow();
return 0;
} DINIC算法
Dinic算法是网络流最大流的优化算法之一，每一步对原图进行分层，然后用DFS求增广路。时间复杂度是O(n^2*m)，Dinic算法最多被分为n个阶段，每个阶段包括建层次网络和寻找增广路两部分。
Dinic算法的思想是分阶段地在层次网络中增广。它与最短增广路算法不同之处是：最短增广路每个阶段执行完一次BFS增广后，要重新启动BFS从源点st开始寻找另一条增广路;而在Dinic算法中，只需一次BFS过程就可以实现多次增广。
简单来说，分为下面几步：
1.在剩余网络中查找是否存在从S到T的路径，同时建分层图。
分层图的层数其实就是S到i这个点需要几步。
2.沿着分层图多路增广。
增广时一定要满足dis[j]=dis[i]+1。
3.直到没有S到T的路径是结束算法。
链表版
#includeint front=q[++H];use=head[front];
while(use!=-1){
if(!dis[L[use].to]&&L[use].val){
dis[L[use].to]=dis[front]+1;
q[++T]=L[use].to;
}
use=nxt[use];
}
}
return dis[en];
}
int dinic(int now,int x){
if(now==en) return x;
use=head[now];
while(use!=-1){
int rec=use;
if(dis[L[use].to]==dis[now]+1&&L[use].val){
int fd=dinic(L[use].to,min(x,L[use].val));
use=rec;
if(fd){
L[use].val-=fd;
L[use^1].val+=fd;
return fd;
}
}
use=nxt[rec];
}
return 0;
}
int main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
n=read();m=read();st=read();en=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();c=read();
add(x,y,c);
}
while(BFS()){
ans+=dinic(st,2e9);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
vector版
#include int front=l[++h];
for(int i=0;iint to=a[front][i];
if(!dist[To[to]] && W[to]){
dist[To[to]]=dist[front]+1;
l[++t]=To[to];
}
}
}
return dist[T];
}
int find(int now,int x)
{
if(now==T) return x;
for(int i=0;iint to=a[now][i];
if(dist[To[to]]==dist[now]+1 && W[to]){
int fd=find(To[to],min(x,W[to]));
if(fd){
W[to]-=fd;
W[to^1]+=fd;
return fd;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
N=read(),M=read(),S=read(),T=read();
for(int i=1;i<=M;i++){
x=read(),y=read(),c=read();
W[cnt]=c,To[cnt]=y;a[x].push_back(cnt);cnt++;
W[cnt]=0,To[cnt]=x;a[y].push_back(cnt);cnt++;
}
while(BFS()){
ans+=find(S,2e9);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}