机器学习系列13-深度学习的技巧和优化方法

Tips for Deep Learning

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本文会顺带解决CNN部分的两个问题：
1、max pooling架构中用到的max无法微分，那在gradient descent的时候该如何处理？
2、L1 的Regression到底是什么东西

本文的主要思路：针对training set和testing set上的performance分别提出针对性的解决方法
1、在training set上准确率不高：
new activation function：ReLU、Maxout
adaptive learning rate：Adagrad、RMSProp、Momentum、Adam
2、在testing set上准确率不高：Early Stopping、Regularization or Dropout

Recipe of Deep Learning

three step of deep learning

Recipe，配方、秘诀，这里指的是做deep learning的流程应该是什么样子

我们都已经知道了deep learning的三个步骤

• define the function set(network structure)
• goodness of function(loss function – cross entropy)
• pick the best function(gradient descent – optimization)

做完这些事情以后，你会得到一个更好的neural network，那接下来你要做什么事情呢？

Good Results on Training Data？

你要做的第一件事是，提高model在training set上的正确率

先检查training set的performance其实是deep learning一个非常unique的地方，如果今天你用的是k-nearest neighbor或decision tree这类非deep learning的方法，做完以后你其实会不太想检查training set的结果，因为在training set上的performance正确率就是100，没有什么好检查的

有人说deep learning的model里这么多参数，感觉一脸很容易overfitting的样子，但实际上这个deep learning的方法，它才不容易overfitting，我们说的overfitting就是在training set上performance很好，但在testing set上performance没有那么好；只有像k nearest neighbor，decision tree这类方法，它们在training set上正确率都是100，这才是非常容易overfitting的，而对deep learning来说，overfitting往往不会是你遇到的第一个问题

因为你在training的时候，deep learning并不是像k nearest neighbor这种方法一样，一训练就可以得到非常好的正确率，它有可能在training set上根本没有办法给你一个好的正确率，所以，这个时候你要回头去检查在前面的step里面要做什么样的修改，好让你在training set上可以得到比较高的正确率

Good Results on Testing Data？

接下来你要做的事是，提高model在testing set上的正确率

假设现在你已经在training set上得到好的performance了，那接下来就把model apply到testing set上，我们最后真正关心的，是testing set上的performance，假如得到的结果不好，这个情况下发生的才是Overfitting，也就是在training set上得到好的结果，却在testing set上得到不好的结果

那你要回过头去做一些事情，试着解决overfitting，但有时候你加了新的technique，想要overcome overfitting这个problem的时候，其实反而会让training set上的结果变坏；所以你在做完这一步的修改以后，要先回头去检查新的model在training set上的结果，如果这个结果变坏的话，你就要从头对network training的process做一些调整，那如果你同时在training set还有testing set上都得到好结果的话，你就成功了，最后就可以把你的系统真正用在application上面了

Do not always blame overfitting

不要看到所有不好的performance就归责于overfitting

先看右边testing data的图，横坐标是model做gradient descent所update的次数，纵坐标则是error rate(越低说明model表现得越好)，黄线表示的是20层的neural network，红色表示56层的neural network

你会发现，这个56层network的error rate比较高，它的performance比较差，而20层network的performance则是比较好的，有些人看到这个图，就会马上得到一个结论：56层的network参数太多了，56层果然没有必要，这个是overfitting。但是，真的是这样子吗？

你在说结果是overfitting之前，有检查过training set上的performance吗？对neural network来说，在training set上得到的结果很可能会像左边training error的图，也就是说，20层的network本来就要比56层的network表现得更好，所以testing set得到的结果并不能说明56层的case就是发生了overfitting

在做neural network training的时候，有太多太多的问题可以让你的training set表现的不好，比如说我们有local minimum的问题，有saddle point的问题，有plateau的问题…所以这个56层的neural network，有可能在train的时候就卡在了一个local minimum的地方，于是得到了一个差的参数，但这并不是overfitting，而是在training的时候就没有train好

有人认为这个问题叫做underfitting，但我的理解上，underfitting的本意应该是指这个model的complexity不足，这个model的参数不够多，所以它的能力不足以解出这个问题；但这个56层的network，它的参数是比20层的network要来得多的，所以它明明有能力比20层的network要做的更好，却没有得到理想的结果，这种情况不应该被称为underfitting，其实就只是没有train好而已

conclusion

当你在deep learning的文献上看到某种方法的时候，永远要想一下，这个方法是要解决什么样的问题，因为在deep learning里面，有两个问题：

• 在training set上的performance不够好
• 在testing set上的performance不够好

当只有一个方法propose(提出)的时候，它往往只针对这两个问题的其中一个来做处理，举例来说，deep learning有一个很潮的方法叫做dropout，那很多人就会说，哦，这么潮的方法，所以今天只要看到performance不好，我就去用dropout；但是，其实只有在testing的结果不好的时候，才可以去apply dropout，如果你今天的问题只是training的结果不好，那你去apply dropout，只会越train越差而已

所以，你必须要先想清楚现在的问题到底是什么，然后再根据这个问题去找针对性的方法，而不是病急乱投医，甚至是盲目诊断

下面我们分别从Training data和Testing data两个问题出发，来讲述一些针对性优化的方法

Good Results on Training Data？

这一部分主要讲述如何在Training data上得到更好的performance，分为两个模块，New activation function和Adaptive Learning Rate

New activation function

这个部分主要讲述的是关于Recipe of Deep Learning中New activation function的一些理论

activation function

如果你今天的training结果不好，很有可能是因为你的network架构设计得不好。举例来说，可能你用的activation function是对training比较不利的，那你就尝试着换一些新的activation function，也许可以带来比较好的结果

在1980年代，比较常用的activation function是sigmoid function，如果现在我们使用sigmoid function，你会发现deeper不一定imply better，下图是在MNIST手写数字识别上的结果，当layer越来越多的时候，accuracy一开始持平，后来就掉下去了，在layer是9层、10层的时候，整个结果就崩溃了；但注意！9层、10层的情况并不能被认为是因为参数太多而导致overfitting，实际上这张图就只是training set的结果，你都不知道testing的情况，又哪来的overfitting之说呢？

Vanishing Gradient Problem

上面这个问题的原因不是overfitting，而是Vanishing Gradient(梯度消失)，解释如下：

当你把network叠得很深的时候，在靠近input的地方，这些参数的gradient(即对最后loss function的微分)是比较小的；而在比较靠近output的地方，它对loss的微分值会是比较大的

因此当你设定同样learning rate的时候，靠近input的地方，它参数的update是很慢的；而靠近output的地方，它参数的update是比较快的

所以在靠近input的地方，参数几乎还是random的时候，output就已经根据这些random的结果找到了一个local minima，然后就converge(收敛)了

这个时候你会发现，参数的loss下降的速度变得很慢，你就会觉得gradient已经接近于0了，于是把程序停掉了，由于这个converge，是几乎base on random的参数，所以model的参数并没有被训练充分，那在training data上得到的结果肯定是很差的

为什么会有这个现象发生呢？如果你自己把Backpropagation的式子写出来的话，就可以很轻易地发现用sigmoid function会导致这件事情的发生；但是，我们今天不看Backpropagation的式子，其实从直觉上来想你也可以了解这件事情发生的原因

某一个参数$w$对total cost $l$的偏微分，即gradient $\frac{\partial l}{\partial w}$，它直觉的意思是说，当我今天把这个参数做小小的变化的时候，它对这个cost的影响有多大；那我们就把第一个layer里的某一个参数$w$加上$\Delta w$，看看对network的output和target之间的loss有什么样的影响

$\Delta w$通过sigmoid function之后，得到output是会变小的，改变某一个参数的weight，会对某个neuron的output值产生影响，但是这个影响是会随着层数的递增而衰减的，sigmoid function的形状如下所示，它会把负无穷大到正无穷大之间的值都硬压到0~1之间，把较大的input压缩成较小的output

因此即使$\Delta w$值很大，但每经过一个sigmoid function就会被缩小一次，所以network越深，$\Delta w$被衰减的次数就越多，直到最后，它对output的影响就是比较小的，相应的也导致input对loss的影响会比较小，于是靠近input的那些weight对loss的gradient $\frac{\partial l}{\partial w}$远小于靠近output的gradient

那怎么解决这个问题呢？比较早年的做法是去train RBM，它的精神就是，先把第一个layer train好，再去train第二个，然后再第三个…所以最后你在做Backpropagation的时候，尽管第一个layer几乎没有被train到，但一开始在做pre-train的时候就已经把它给train好了，这样RBM就可以在一定程度上解决问题

但其实改一下activation function可能就可以handle这个问题了

ReLU

introduction

现在比较常用的activation function叫做Rectified Linear Unit(整流线性单元函数，又称修正线性单元)，它的缩写是ReLU，该函数形状如下图所示，z为input，a为output，如果input>0则output = input，如果input<0则output = 0

选择ReLU的理由如下：

• 跟sigmoid function比起来，ReLU的运算快很多
• ReLU的想法结合了生物上的观察( Pengel的paper )
• 无穷多bias不同的sigmoid function叠加的结果会变成ReLU
• ReLU可以处理Vanishing gradient的问题( the most important thing )

handle Vanishing gradient problem

下图是ReLU的neural network，以ReLU作为activation function的neuron，它的output要么等于0，要么等于input

当output=input的时候，这个activation function就是linear的；而output=0的neuron对整个network是没有任何作用的，因此可以把它们从network中拿掉

拿掉所有output为0的neuron后如下图所示，此时整个network就变成了一个瘦长的linear network，linear的好处是，output=input，不会像sigmoid function一样使input产生的影响逐层递减

Q：这里就会有一个问题，我们之所以使用deep learning，就是因为想要一个non-linear、比较复杂的function，而使用ReLU不就会让它变成一个linear function吗？这样得到的function不是会变得很弱吗？

A：其实，使用ReLU之后的network整体来说还是non-linear的，如果你对input做小小的改变，不改变neuron的operation region的话，那network就是一个linear function；但是，如果你对input做比较大的改变，导致neuron的operation region被改变的话，比如从output=0转变到了output=input，network整体上就变成了non-linear function

注：这里的region是指input z<0和input z>0的两个范围

Q：还有另外一个问题，我们对loss function做gradient descent，要求neural network是可以做微分的，但ReLU是一个分段函数，它是不能微分的(至少在z=0这个点是不可微的)，那该怎么办呢？

A：在实际操作上，当region的范围处于z>0时，微分值gradient就是1；当region的范围处于z<0时，微分值gradient就是0；当z为0时，就不要管它，相当于把它从network里面拿掉

ReLU-variant

其实ReLU还存在一定的问题，比如当input<0的时候，output=0，此时微分值gradient也为0，你就没有办法去update参数了，所以我们应该让input<0的时候，微分后还能有一点点的值，比如令$a=0.01z$，这个东西就叫做Leaky ReLU

既然a可以等于0.01z，那这个z的系数可不可以是0.07、0.08之类呢？所以就有人提出了Parametric ReLU，也就是令$a=\alpha \cdot z$，其中$\alpha$并不是固定的值，而是network的一个参数，它可以通过training data学出来，甚至每个neuron都可以有不同的$\alpha$值

这个时候又有人想，为什么一定要是ReLU这样子呢，activation function可不可以有别的样子呢？所以后来有了一个更进阶的想法，叫做Maxout network

Maxout

introduction

Maxout的想法是，让network自动去学习它的activation function，那Maxout network就可以自动学出ReLU，也可以学出其他的activation function，这一切都是由training data来决定的

假设现在有input $x_1,x_2$，它们乘上几组不同的weight分别得到5,7,-1,1，这些值本来是不同neuron的input，它们要通过activation function变为neuron的output；但在Maxout network里，我们事先决定好将某几个“neuron”的input分为一个group，比如5,7分为一个group，然后在这个group里选取一个最大值7作为output

这个过程就好像在一个layer上做Max Pooling一样，它和原来的network不同之处在于，它把原来几个“neuron”的input按一定规则组成了一个group，然后并没有使它们通过activation function，而是选取其中的最大值当做这几个“neuron”的output

当然，实际上原来的”neuron“早就已经不存在了，这几个被合并的“neuron”应当被看做是一个新的neuron，这个新的neuron的input是原来几个“neuron”的input组成的vector，output则取input的最大值，而并非由activation function产生

在实际操作上，几个element被分为一个group这件事情是由你自己决定的，它就是network structure里一个需要被调的参数，不一定要跟上图一样两个分为一组

Maxout -> RELU

Maxout是如何模仿出ReLU这个activation function的呢？

下图左上角是一个ReLU的neuron，它的input x会乘上neuron的weight w，再加上bias b，然后通过activation function-ReLU，得到output a

• neuron的input为$z=wx+b$，为下图左下角紫线
• neuron的output为$a=z(z>0);a=0(z<0)$，为下图左下角绿线

如果我们使用的是上图右上角所示的Maxout network，假设$z_1$的参数w和b与ReLU的参数一致，而$z_2$的参数w和b全部设为0，然后做Max Pooling，选取$z_1,z_2$较大值作为a

• neuron的input为$\left[\begin{array}{c}{z}_1{z}_2\end{array}\right]$
  • $z_1=wx+b$，为上图右下角紫线
  • $z_2=0$，为上图右下角红线
• neuron的output为$\max \left[\begin{array}{c}{z}_1{z}_2\end{array}\right]$，为上图右下角绿线

你会发现，此时ReLU和Maxout所得到的output是一模一样的，它们是相同的activation function

Maxout -> More than ReLU

除了ReLU，Maxout还可以实现更多不同的activation function

比如$z_2$的参数w和b不是0，而是$w^{\prime },b^{\prime }$，此时

• neuron的input为$\left[\begin{array}{c}{z}_1{z}_2\end{array}\right]$
  • $z_1=wx+b$，为下图右下角紫线
  • $z_2=w^{\prime }x+b^{\prime }$，为下图右下角红线
• neuron的output为$\max \left[\begin{array}{c}{z}_1{z}_2\end{array}\right]$，为下图右下角绿线

这个时候你得到的activation function的形状(绿线形状)，是由network的参数$w,b,w^{\prime },b^{\prime }$决定的，因此它是一个Learnable Activation Function，具体的形状可以根据training data去generate出来

property

Maxout可以实现任何piecewise linear convex activation function(分段线性凸激活函数)，其中这个activation function被分为多少段，取决于你把多少个element z放到一个group里，下图分别是2个element一组和3个element一组的activation function的不同形状

How to train Maxout

接下来我们要面对的是，怎么去train一个Maxout network，如何解决Max不能微分的问题

假设在下面的Maxout network中，红框圈起来的部分为每个neuron的output

其实Max operation就是linear的operation，只是它仅接在前面这个group里的某一个element上，因此我们可以把那些并没有被Max连接到的element通通拿掉，从而得到一个比较细长的linear network

实际上我们真正训练的并不是一个含有max函数的network，而是一个化简后如下图所示的linear network；当我们还没有真正开始训练模型的时候，此时这个network含有max函数无法微分，但是只要真的丢进去了一笔data，network就会马上根据这笔data确定具体的形状，此时max函数的问题已经被实际数据给解决了，所以我们完全可以根据这笔training data使用Backpropagation的方法去训练被network留下来的参数

所以我们担心的max函数无法微分，它只是理论上的问题；在具体的实践上，我们完全可以先根据data把max函数转化为某个具体的函数，再对这个转化后的thiner linear network进行微分

这个时候你也许会有一个问题，如果按照上面的做法，那岂不是只会train留在network里面的那些参数，剩下的参数该怎么办？那些被拿掉的直线(weight)岂不是永远也train不到了吗？

其实这也只是个理论上的问题，在实际操作上，我们之前已经提到过，每个linear network的structure都是由input的那一笔data来决定的，当你input不同data的时候，得到的network structure是不同的，留在network里面的参数也是不同的，由于我们有很多很多笔training data，所以network的structure在训练中不断地变换，实际上最后每一个weight参数都会被train到

所以，我们回到Max Pooling的问题上来，由于Max Pooling跟Maxout是一模一样的operation，既然如何训练Maxout的问题可以被解决，那训练Max Pooling又有什么困难呢？

Max Pooling有关max函数的微分问题采用跟Maxout一样的方案即可解决，至此我们已经解决了CNN部分的第一个问题

Adaptive learning rate

这个部分主要讲述的是关于Recipe of Deep Learning中Adaptive learning rate的一些理论

Review - Adagrad

我们之前已经了解过Adagrad的做法，让每一个parameter都要有不同的learning rate

Adagrad的精神是，假设我们考虑两个参数$w_1,w_2$，如果在$w_1$这个方向上，平常的gradient都比较小，那它是比较平坦的，于是就给它比较大的learning rate；反过来说，在$w_2$这个方向上，平常gradient都比较大，那它是比较陡峭的，于是给它比较小的learning rate

但我们实际面对的问题，很有可能远比Adagrad所能解决的问题要来的复杂，我们之前做Linear Regression的时候，我们做optimization的对象，也就是loss function，它是convex的形状；但实际上我们在做deep learning的时候，这个loss function可以是任何形状

RMSProp

learning rate

loss function可以是任何形状，对convex loss function来说，在每个方向上它会一直保持平坦或陡峭的状态，所以你只需要针对平坦的情况设置较大的learning rate，对陡峭的情况设置较小的learning rate即可

但是在下图所示的情况中，即使是在同一个方向上(如w1方向)，loss function也有可能一会儿平坦一会儿陡峭，所以你要随时根据gradient的大小来快速地调整learning rate

所以真正要处理deep learning的问题，用Adagrad可能是不够的，你需要更dynamic的调整learning rate的方法，所以产生了Adagrad的进阶版——RMSProp

RMSprop还是一个蛮神奇的方法，因为它并不是在paper里提出来的，而是Hinton在mooc的course里面提出来的一个方法，所以需要cite(引用)的时候，要去cite Hinton的课程链接

how to do RMSProp

RMSProp的做法如下：

我们的learning rate依旧设置为一个固定的值 $\eta$ 除掉一个变化的值 $\sigma$，这个$\sigma$等于上一个$\sigma$和当前梯度$g$的加权方均根（特别的是，在第一个时间点，${\sigma }^0$就是第一个算出来的gradient值$g^0$），即：
$$\begin{gathered} w^{t+1}=w^t-\frac{\eta }{{\sigma }^t}{g}^t \\ {\sigma }^t=\sqrt{\alpha ({\sigma }^{t-1}{)}^2+(1-\alpha )(g^t{)}^2} \end{gathered}$$
这里的$\alpha$值是可以自由调整的，RMSProp跟Adagrad不同之处在于，Adagrad的分母是对过程中所有的gradient取平方和开根号，也就是说Adagrad考虑的是整个过程平均的gradient信息；而RMSProp虽然也是对所有的gradient进行平方和开根号，但是它用一个$\alpha$来调整对不同gradient的使用程度，比如你把α的值设的小一点，意思就是你更倾向于相信新的gradient所告诉你的error surface的平滑或陡峭程度，而比较无视于旧的gradient所提供给你的information

所以当你做RMSProp的时候，一样是在算gradient的root mean square，但是你可以给现在已经看到的gradient比较大的weight，给过去看到的gradient比较小的weight，来调整对gradient信息的使用程度

Momentum

optimization - local minima？

除了learning rate的问题以外，在做deep learning的时候，也会出现卡在local minimum、saddle point或是plateau的地方，很多人都会担心，deep learning这么复杂的model，可能非常容易就会被卡住了

但其实Yann LeCun在07年的时候，就提出了一个蛮特别的说法，他说你不要太担心local minima的问题，因为一旦出现local minima，它就必须在每一个dimension都是下图中这种山谷的低谷形状，假设山谷的低谷出现的概率为p，由于我们的network有非常非常多的参数，这里假设有1000个参数，每一个参数都要位于山谷的低谷之处，这件事发生的概率为$p^{1000}$，当你的network越复杂，参数越多，这件事发生的概率就越低

所以在一个很大的neural network里面，其实并没有那么多的local minima，搞不好它看起来其实是很平滑的，所以当你走到一个你觉得是local minima的地方被卡住了，那它八成就是global minima，或者是很接近global minima的地方

where is Momentum from

有一个heuristic(启发性)的方法可以稍微处理一下上面所说的“卡住”的问题，它的灵感来自于真实世界

假设在有一个球从左上角滚下来，它会滚到plateau的地方、local minima的地方，但是由于惯性它还会继续往前走一段路程，假设前面的坡没有很陡，这个球就很有可能翻过山坡，走到比local minima还要好的地方

所以我们要做的，就是把惯性塞到gradient descent里面，这件事情就叫做Momentum

how to do Momentum

当我们在gradient descent里加上Momentum的时候，每一次update的方向，不再只考虑gradient的方向，还要考虑上一次update的方向，那这里我们就用一个变量$v$去记录前一个时间点update的方向

随机选一个初始值${\theta }^0$，初始化$v^0=0$，接下来计算${\theta }^0$处的gradient，然后我们要移动的方向是由前一个时间点的移动方向$v^0$和gradient的反方向$\nabla L({\theta }^0)$来决定的，即
$$v^1=\lambda v^0-\eta \nabla L({\theta }^0)$$
注：这里的$\lambda$也是一个手动调整的参数，它表示惯性对前进方向的影响有多大

接下来我们第二个时间点要走的方向$v^2$，它是由第一个时间点移动的方向$v^1$和gradient的反方向$\nabla L({\theta }^1)$共同决定的；$\lambda v$是图中的绿色虚线，它代表由于上一次的惯性想要继续走的方向；$\eta \nabla L(\theta )$是图中的红色虚线，它代表这次gradient告诉你所要移动的方向；它们的矢量和就是这一次真实移动的方向，为蓝色实线

gradient告诉我们走红色虚线的方向，惯性告诉我们走绿色虚线的方向，合起来就是走蓝色的方向

我们还可以用另一种方法来理解Momentum这件事，其实你在每一个时间点移动的步伐$v^i$，包括大小和方向，就是过去所有gradient的加权和

具体推导如下图所示，第一个时间点移动的步伐$v^1$是${\theta }^0$处的gradient加权，第二个时间点移动的步伐$v^2$是${\theta }^0$和${\theta }^1$处的gradient加权和…以此类推；由于$\lambda$的值小于1，因此该加权意味着越是之前的gradient，它的权重就越小，也就是说，你更在意的是现在的gradient，但是过去的所有gradient也要对你现在update的方向有一定程度的影响力，这就是Momentum

如果你对数学公式不太喜欢的话，那我们就从直觉上来看一下加入Momentum之后是怎么运作的

在加入Momentum以后，每一次移动的方向，就是negative的gradient加上Momentum建议我们要走的方向，Momentum其实就是上一个时间点的movement

下图中，红色实线是gradient建议我们走的方向，直观上看就是根据坡度要走的方向；绿色虚线是Momentum建议我们走的方向，实际上就是上一次移动的方向；蓝色实线则是最终真正走的方向

如果我们今天走到local minimum的地方，此时gradient是0，红色箭头没有指向，它就会告诉你就停在这里吧，但是Momentum也就是绿色箭头，它指向右侧就是告诉你之前是要走向右边的，所以你仍然应该要继续往右走，所以最后你参数update的方向仍然会继续向右；你甚至可以期待Momentum比较强，惯性的力量可以支撑着你走出这个谷底，去到loss更低的地方

Adam

其实RMSProp加上Momentum，就可以得到Adam

根据下面的paper来快速描述一下Adam的algorithm：

• 先初始化$m_0=0$，$m_0$就是Momentum中，前一个时间点的movement

  再初始化$v_0=0$，$v_0$就是RMSProp里计算gradient的root mean square的$\sigma$

  最后初始化$t=0$，t用来表示时间点

• 先算出gradient $g_t$
  $$g_t={\nabla }_{\theta }{f}_t({\theta }_{t-1})$$

• 再根据过去要走的方向$m_{t-1}$和gradient $g_t$，算出现在要走的方向 $m_t$——Momentum
  $$m_t={\beta }_1{m}_{t-1}+(1-{\beta }_1)g_t$$

• 然后根据前一个时间点的$v_{t-1}$和gradient $g_t$的平方，算一下放在分母的$v_t$——RMSProp
  $$v_t={\beta }_2{v}_{t-1}+(1-{\beta }_2)g_t^2$$

• 接下来做了一个原来RMSProp和Momentum里没有的东西，就是bias correction，它使$m_t$和$v_t$都除上一个值，这个值本来比较小，后来会越来越接近于1 (原理详见paper)
  $$\begin{gathered} {\hat{m}}_t=\frac{m_t}{1-{\beta }_1^t} \\ {\hat{v}}_t=\frac{v_t}{1-{\beta }_2^t} \end{gathered}$$

• 最后做update，把Momentum建议你的方向$\widehat{m_t}$乘上learning rate $\alpha$，再除掉RMSProp normalize后建议的learning rate分母，然后得到update的方向
  $${\theta }_t={\theta }_{t-1}-\frac{\alpha \cdot {\hat{m}}_t}{\sqrt{{\hat{v}}_t}+ϵ}$$

Good Results on Testing Data？

这一部分主要讲述如何在Testing data上得到更好的performance，分为三个模块，Early Stopping、Regularization和Dropout

值得注意的是，Early Stopping和Regularization是很typical的做法，它们不是特别为deep learning所设计的；而Dropout是一个蛮有deep learning特色的做法

Early Stopping

假设你今天的learning rate调的比较好，那随着训练的进行，total loss通常会越来越小，但是Training set和Testing set的情况并不是完全一样的，很有可能当你在Training set上的loss逐渐减小的时候，在Testing set上的loss反而上升了

所以，理想上假如你知道testing data上的loss变化情况，你会在testing set的loss最小的时候停下来，而不是在training set的loss最小的时候停下来；但testing set实际上是未知的东西，所以我们需要用validation set来替代它去做这件事情

注：很多时候，我们所讲的“testing set”并不是指代那个未知的数据集，而是一些已知的被你拿来做测试之用的数据集，比如kaggle上的public set，或者是你自己切出来的validation set

Regularization

regularization就是在原来的loss function上额外增加几个term，比如我们要minimize的loss function原先应该是square error或cross entropy，那在做Regularization的时候，就在后面加一个Regularization的term

L2 regularization

regularization term可以是参数的L2 norm(L2正规化)，所谓的L2 norm，就是把model参数集$\theta$里的每一个参数都取平方然后求和，这件事被称作L2 regularization，即
$$L2regularization:||\theta |{|}_2=(w_1{)}^2+(w_2{)}^2+...$$

通常我们在做regularization的时候，新加的term里是不会考虑bias这一项的，因为加regularization的目的是为了让我们的function更平滑，而bias通常是跟function的平滑程度没有关系的

你会发现我们新加的regularization term $\lambda \frac{1}{2}||\theta |{|}_2$里有一个$\frac{1}{2}$，由于我们是要对loss function求微分的，而新加的regularization term是参数$w_i$的平方和，对平方求微分会多出来一个系数2，我们的$\frac{1}{2}$就是用来和这个2相消的

L2 regularization具体工作流程如下：

• 我们加上regularization term之后得到了一个新的loss function：$L^{\prime }(\theta )=L(\theta )+\lambda \frac{1}{2}||\theta |{|}_2$
• 将这个loss function对参数$w_i$求微分：$\frac{\partial L^{\prime }}{\partial w_i}=\frac{\partial L}{\partial w_i}+\lambda w_i$
• 然后update参数$w_i$：$w_i^{t+1}=w_i^t-\eta \frac{\partial L^{\prime }}{\partial w_i}=w_i^t-\eta (\frac{\partial L}{\partial w_i}+\lambda w_i^t)=(1-\eta \lambda )w_i^t-\eta \frac{\partial L}{\partial w_i}$

如果把这个推导出来的式子和原式作比较，你会发现参数$w_i$在每次update之前，都会乘上一个$(1-\eta \lambda )$，而$\eta$和$\lambda$通常会被设为一个很小的值，因此$(1-\eta \lambda )$通常是一个接近于1的值，比如0.99,；也就是说，regularization做的事情是，每次update参数$w_i$之前，不分青红皂白就先对原来的$w_i$乘个0.99，这意味着，随着update次数增加，参数$w_i$会越来越接近于0

Q：你可能会问，要是所有的参数都越来越靠近0，那最后岂不是$w_i$通通变成0，得到的network还有什么用？

A：其实不会出现最后所有参数都变为0的情况，因为通过微分得到的$\eta \frac{\partial L}{\partial w_i}$这一项是会和前面$(1-\eta \lambda )w_i^t$这一项最后取得平衡的

使用L2 regularization可以让weight每次都变得更小一点，这就叫做Weight Decay(权重衰减)

L1 regularization

除了L2 regularization中使用平方项作为new term之外，还可以使用L1 regularization，把平方项换成每一个参数的绝对值，即
$$||\theta |{|}_1=|w_1|+|w_2|+...$$
Q：你的第一个问题可能会是，绝对值不能微分啊，该怎么处理呢？

A：实际上绝对值就是一个V字形的函数，在V的左边微分值是-1，在V的右边微分值是1，只有在0的地方是不能微分的，那真的走到0的时候就胡乱给它一个值，比如0，就ok了

如果w是正的，那微分出来就是+1，如果w是负的，那微分出来就是-1，所以这边写了一个w的sign function，它的意思是说，如果w是正数的话，这个function output就是+1，w是负数的话，这个function output就是-1

L1 regularization的工作流程如下：

• 我们加上regularization term之后得到了一个新的loss function：$L^{\prime }(\theta )=L(\theta )+\lambda \frac{1}{2}||\theta |{|}_1$
• 将这个loss function对参数$w_i$求微分：$\frac{\partial L^{\prime }}{\partial w_i}=\frac{\partial L}{\partial w_i}+\lambda sgn(w_i)$
• 然后update参数$w_i$：$w_i^{t+1}=w_i^t-\eta \frac{\partial L^{\prime }}{\partial w_i}=w_i^t-\eta (\frac{\partial L}{\partial w_i}+\lambda sgn(w_i^t))=w_i^t-\eta \frac{\partial L}{\partial w_i}-\eta \lambda sgn(w_i^t)$

这个式子告诉我们，每次update的时候，不管三七二十一都要减去一个$\eta \lambda sgn(w_i^t)$，如果w是正的，sgn是+1，就会变成减一个positive的值让你的参数变小；如果w是负的，sgn是-1，就会变成加一个值让你的参数变大；总之就是让它们的绝对值减小至接近于0

L1 V.s. L2

我们来对比一下L1和L2的update过程：
$$\begin{gathered} L1:w_i^{t+1}=w_i^t-\eta \frac{\partial L}{\partial w_i}-\eta \lambda sgn(w_i^t) \\ L2:w_i^{t+1}=(1-\eta \lambda )w_i^t-\eta \frac{\partial L}{\partial w_i} \end{gathered}$$
L1和L2，虽然它们同样是让参数的绝对值变小，但它们做的事情其实略有不同：

• L1使参数绝对值变小的方式是每次update减掉一个固定的值
• L2使参数绝对值变小的方式是每次update乘上一个小于1的固定值

因此，当参数w的绝对值比较大的时候，L2会让w下降得更快，而L1每次update只让w减去一个固定的值，train完以后可能还会有很多比较大的参数；当参数w的绝对值比较小的时候，L2的下降速度就会变得很慢，train出来的参数平均都是比较小的，而L1每次下降一个固定的value，train出来的参数是比较sparse的，这些参数有很多是接近0的值，也会有很大的值

在之前所讲的CNN的task里，用L1做出来的效果是比较合适的，是比较sparse的

Weight Decay

之前提到了Weight Decay，那实际上我们在人脑里面也会做Weight Decay

下图分别描述了，刚出生的时候，婴儿的神经是比较稀疏的；6岁的时候，就会有很多很多的神经；但是到14岁的时候，神经间的连接又减少了，所以neural network也会跟我们人有一些很类似的事情，如果有一些weight你都没有去update它，那它每次都会越来越小，最后就接近0然后不见了

这跟人脑的运作，是有异曲同工之妙

some tips

ps：在deep learning里面，regularization虽然有帮助，但它的重要性往往没有SVM这类方法来得高，因为我们在做neural network的时候，通常都是从一个很小的、接近于0的值开始初始参数的，而做update的时候，通常都是让参数离0越来越远，但是regularization要达到的目的，就是希望我们的参数不要离0太远

如果你做的是Early Stopping，它会减少update的次数，其实也会避免你的参数离0太远，这跟regularization做的事情是很接近的

所以在neural network里面，regularization的作用并没有SVM来的重要，SVM其实是explicitly把regularization这件事情写在了它的objective function(目标函数)里面，SVM是要去解一个convex optimization problem，因此它解的时候不一定会有iteration的过程，它不会有Early Stopping这件事，而是一步就可以走到那个最好的结果了，所以你没有办法用Early Stopping防止它离目标太远，你必须要把regularization explicitly加到你的loss function里面去

Dropout

这里先讲dropout是怎么做的，然后再来解释为什么这样做

How to do Dropout

Dropout是怎么做的呢？

Training

在training的时候，每次update参数之前，我们对每一个neuron(也包括input layer的“neuron”)做sampling(抽样) ，每个neuron都有p%的几率会被丢掉，如果某个neuron被丢掉的话，跟它相连的weight也都要被丢掉

实际上就是每次update参数之前都通过抽样只保留network中的一部分neuron来做训练

做完sampling以后，network structure就会变得比较细长了，然后你再去train这个细长的network

注：每次update参数之前都要做一遍sampling，所以每次update参数的时候，拿来training的network structure都是不一样的；你可能会觉得这个方法跟前面提到的Maxout会有一点像，但实际上，Maxout是每一笔data对应的network structure不同，而Dropout是每一次update的network structure都是不同的(每一个minibatch对应着一次update，而一个minibatch里含有很多笔data)

当你在training的时候使用dropout，得到的performance其实是会变差的，因为某些neuron在training的时候莫名其妙就会消失不见，但这并不是问题，因为：

Dropout真正要做的事情，就是要让你在training set上的结果变差，但是在testing set上的结果是变好的

所以如果你今天遇到的问题是在training set上得到的performance不够好，你再加dropout，就只会越做越差；这告诉我们，不同的problem需要用不同的方法去解决，而不是胡乱使用，dropout就是针对testing set的方法，当然不能够拿来解决training set上的问题啦！

Testing

在使用dropout方法做testing的时候要注意两件事情：

• testing的时候不做dropout，所有的neuron都要被用到
• 假设在training的时候，dropout rate是p%，从training data中被learn出来的所有weight都要乘上(1-p%)才能被当做testing的weight使用

Why Dropout？

为什么dropout会有用？

直接的想法是这样子：

在training的时候，会丢掉一些neuron，就好像是你要练轻功的时候，会在脚上绑一些重物；然后，你在实际战斗的时候，就是实际testing的时候，是没有dropout的，就相当于把重物拿下来，所以你就会变得很强

另一个直觉的理由是这样，neural network里面的每一个neuron就是一个学生，那大家被连接在一起就是大家听到说要组队做final project，那在一个团队里总是有人会拖后腿，就是他会dropout，所以假设你觉得自己的队友会dropout，这个时候你就会想要好好做，然后去carry这个队友，这就是training的过程

那实际在testing的时候，其实大家都有好好做，没有人需要被carry，由于每个人都比一般情况下更努力，所以得到的结果会是更好的，这也就是testing的时候不做dropout的原因

为什么training和testing使用的weight是不一样的呢？

直觉的解释是这样的：

假设现在的dropout rate是50%，那在training的时候，你总是期望每次update之前会丢掉一半的neuron，就像下图左侧所示，在这种情况下你learn好了一组weight参数，然后拿去testing

但是在testing的时候是没有dropout的，所以如果testing使用的是和training同一组weight，那左侧得到的output z和右侧得到的output z‘，它们的值其实是会相差两倍的，即$z^{\prime }\approx 2z$，这样会造成testing的结果与training的结果并不match，最终的performance反而会变差

那这个时候，你就需要把右侧testing中所有的weight乘上0.5，然后做normalization，这样z就会等于z’，使得testing的结果与training的结果是比较match的

Dropout is a kind of ensemble

在文献上有很多不同的观点来解释为什么dropout会work，其中一种比较令人信服的解释是：dropout是一种终极的ensemble的方法

ensemble精神的解释

ensemble的方法在比赛的时候经常用得到，它的意思是说，我们有一个很大的training set，那你每次都只从这个training set里面sample一部分的data出来，像下图一样，抽取了set1,set2,set3,set4

我们之前在讲bias和variance的trade off的时候说过，打靶有两种情况：

• 一种是因为bias大而导致打不准(参数过少)
• 另一种是因为variance大而导致打不准(参数过多)

假设我们今天有一个很复杂的model，它往往是bias比较准，但variance很大的情况，如果你有很多个笨重复杂的model，虽然它们的variance都很大，但最后平均起来，结果往往就会很准

所以ensemble做的事情，就是利用这个特性，我们从原来的training data里面sample出很多subset，然后train很多个model，每一个model的structure甚至都可以不一样；在testing的时候，丢了一笔testing data进来，使它通过所有的model，得到一大堆的结果，然后把这些结果平均起来当做最后的output

如果你的model很复杂，这一招往往是很有用的，那著名的random forest(随机森林)也是实践这个精神的一个方法，也就是如果你用一个decision tree，它就会很弱，也很容易overfitting，而如果采用random forest，它就没有那么容易overfitting

为什么dropout是一个终极的ensemble方法呢？

在training network的时候，每次拿一个minibatch出来就做一次update，而根据dropout的特性，每次update之前都要对所有的neuron进行sample，因此每一个minibatch所训练的network都是不同的

假设我们有M个neuron，每个neuron都有可能drop或不drop，所以总共可能的network数量有$2^M$个；所以当你在做dropout的时候，相当于是在用很多个minibatch分别去训练很多个network(一个minibatch一般设置为100笔data)，由于update次数是有限的，所以做了几次update，就相当于train了几个不同的network，最多可以训练到$2^M$个network

每个network都只用一个minibatch的data来train，可能会让人感到不安，一个batch才100笔data，怎么train一个network呢？其实没有关系，因为这些不同的network之间的参数是shared，也就是说，虽然一个network只能用一个minibatch来train，但同一个weight可以在不同的network里被不同的minibatch train，所以同一个weight实际上是被所有没有丢掉它的network一起share的，它是拿所有这些network的minibatch合起来一起train的结果

实际操作ensemble的做法

那按照ensemble这个方法的逻辑，在testing的时候，你把那train好的一大把network通通拿出来，然后把手上这一笔testing data丢到这把network里面去，每个network都给你吐出一个结果来，然后你把所有的结果平均起来 ，就是最后的output

但是在实际操作上，如下图左侧所示，这一把network实在太多了，你没有办法每一个network都丢一个input进去，再把它们的output平均起来，这样运算量太大了

所以dropout最神奇的地方是，当你并没有把这些network分开考虑，而是用一个完整的network，这个network的weight是用之前那一把network train出来的对应weight乘上(1-p%)，然后再把手上这笔testing data丢进这个完整的network，得到的output跟network分开考虑的ensemble的output，是惊人的相近

也就是说下图左侧ensemble的做法和右侧dropout的做法，得到的结果是approximate(近似)的

举例说明dropout和ensemble的关系

这里用一个例子来解释：

我们train一个下图右上角所示的简单的network，它只有一个neuron，activation function是linear的，并且不考虑bias，这个network经过dropout训练以后得到的参数分别为$w_1,w_2$，那给它input $x_1,x_2$，得到的output就是$z=w_1{x}_1+w_2{x}_2$

如果我们今天要做ensemble的话，theoretically就是像下图这么做，每一个neuron都有可能被drop或不drop，这里只有两个input的neuron，所以我们一共可以得到2^2=4种network

我们手上这笔testing data $x_1,x_2$丢到这四个network中，分别得到4个output：$w_1{x}_1+w_2{x}_2,w_2{x}_2,w_1{x}_1,0$，然后根据ensemble的精神，把这四个network的output通通都average起来，得到的结果是$\frac{1}{2}(w_1{x}_1+w_2{x}_2)$

那根据dropout的想法，我们把从training中得到的参数$w_1,w_2$乘上(1-50%)，作为testing network里的参数，也就是$w_1^{\prime },w_2^{\prime }=(1-50\%)(w_1,w_2)=0.5w_1,0.5w_2$

这边想要呈现的是，在这个最简单的case里面，用不同的network structure做ensemble这件事情，跟我们用一整个network，并且把weight乘上一个值而不做ensemble所得到的output，其实是一样的

值得注意的是，只有是linear的network，才会得到上述的等价关系，如果network是非linear的，ensemble和dropout是不equivalent的；但是，dropout最后一个很神奇的地方是，虽然在non-linear的情况下，它是跟ensemble不相等的，但最后的结果还是会work

如果network很接近linear的话，dropout所得到的performance会比较好，而ReLU和Maxout的network相对来说是比较接近于linear的，所以我们通常会把含有ReLU或Maxout的network与Dropout配合起来使用