Codeforces 712D Memory and Scores（前缀和优化dp）

给你两个人的分数a,b
然后两个人在[−k,k]之间随机选，然后加到自己的分数上
然后t轮之后，第一个人分数比第二个人高的情况，有多少种
对于一轮，可以取到的差是[−2k,2k]，然后就类似背包
dp[i][j]=dp[i−1][j−2k]+2dp[i−1][j−2k+1]+⋯+(2k+1)dp[i−1][j]+2kdp[i−1][j+1]+⋯+dp[i−1][j+2k]
这样的复杂度是O(t2k2)，所以需要优化，观察这个转移，其实很像前缀和
只要把j=0的处理出来，然后j每次往后移动，只要减去前面一段前缀和，加上后面一段前缀和，即可O(1)的转移

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代码:

#include 
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#include 
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define   MAX           200005
#define   MAXN          1000005
#define   maxnode       133
#define   sigma_size    30
#define   lson          l,m,rt<<1
#define   rson          m+1,r,rt<<1|1
#define   lrt           rt<<1
#define   rrt           rt<<1|1
#define   middle        int m=(r+l)>>1
#define   LL            long long
#define   ull           unsigned long long
#define   mem(x,v)      memset(x,v,sizeof(x))
#define   lowbit(x)     (x&-x)
#define   pii           pair
#define   bits(a)       __builtin_popcount(a)
#define   mk            make_pair
#define   limit         10000

//const int    prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-8;
const LL     mod   = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 }
/*****************************************************/

LL dp[2][400005];
LL sum[400005];

int main(){
    int a,b,k,t;
    while(cin>>a>>b>>k>>t){
        int cnt=0;
        mem(dp,0);
        dp[cnt^1][200000]=1;
        for(int i=1;i<=t;i++){
            sum[0]=dp[cnt^1][0];
            mem(dp[cnt],0);
            for(int j=1;j<=400000;j++) sum[j]=(sum[j-1]+dp[cnt^1][j])%mod;
            for(int j=0;j<=400000;j++){
                if(j==0){
                    dp[cnt][j]+=(2*k+1)*dp[cnt^1][j]%mod;
                    for(int z=1;z<=2*k;z++) dp[cnt][j]+=(2*k+1-z)*dp[cnt^1][j+z]%mod;
                }
                else{
                    dp[cnt][j]=dp[cnt][j-1];
                    if(j-2*k<2) dp[cnt][j]-=sum[j-1];
                    else dp[cnt][j]-=sum[j-1]-sum[j-2-2*k];
                    if(j+2*k>400000) dp[cnt][j]+=sum[400000]-sum[j-1];
                    else dp[cnt][j]+=sum[j+2*k]-sum[j-1];
                }
                dp[cnt][j]=(dp[cnt][j]%mod+mod)%mod;
            }
            cnt^=1;
        }
        LL ans=0;
        for(int i=200001-(a-b);i<=400000;i++) ans=(ans+dp[cnt^1][i])%mod;
        cout<return 0;
}