游戏开发中的基本物理学知识

第三章：不能再简单的世界

在真正开始编写之前，先回顾一下初中学过的经典物理的知识，OK，闭上眼睛想三分钟，嗯，动量守恒，摩擦系数，胡克定律，弹性碰撞。。。是不是突然想到了很多，但是并不系统，这里就简单的，系统的总结一下游戏中需要物理学知识（更详细的推荐《游戏开发物理学》）。

在物理世界的仿真中，一般我们至少要进行以下三种现象的仿真。

1.线性运动：包括定加速，不定加速运动，考虑摩擦力，压差，重力，阻尼，浮力等。

2.旋转：要计算角速度，力矩，转动惯量等。

3.弹性碰撞：包括完全弹性碰撞，非完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞等。

关于二维和三维坐标系的知识就不做介绍，关于公式的推导也都省略了，只给出实用的结果公式。

注：以下公式中：*表示乘法，也是点积；×表示叉乘（外积），^表示幂。

第一节：线性运动

为了仿真物体的线性运动，需要知道计算物体的质量，速度，如果要考虑摩擦力，还需要物体的摩擦系数，要计算重力，需要引力常数等。

质心

对于组合物体，如飞船由引擎，人员，船身等各个部分组成，而不同部分的重量不同，在计算物体线性运动时，施加在物体上的力，都看做是施加在物体质心上的，所以在计算物体运动之前要先算出物体的质心。

Mc =  ∑(mc_i * m_i ) / m

Mc是物体合并后的质心，mc_i是物体中每个质点的坐标（二维或三维空间下的向量），m_i是每个质点的质量，m是物体的总质量。

牛顿第二定律

这是计算线性运动的基本定律，即根据作用在物体质心上的合力计算物体的加速度：

∑F = m*a

m是物体的质量，a是在力作用下的加速度，∑F是施加在质心的合力，F和a都是向量。一般把F分解为沿着空间坐标轴的分量计算沿着不同坐标轴的加速度。如果运动过程中∑F不变，则成为定加速运动，如果∑F再运动中变换就是变加速运动。

定加速运动

物体的及时速度 v是由上一时刻速度v'和加速度a 决定的，

v = v' + a * t

这个就不解释了，同理：

s = v * t + 1/2 * a * t^2

变加速运动

因为物体在运动中会受到阻力（这里说的不同于摩擦力），阻力一般与速度的平方成正比，由此可知阻力引起的反加速度也与速度的平方成反比：

a = -k * v^2

a既是阻力引起的加速度，k为常数而负号表示方向相反。对于此类变加速运动，及时速度为：

v = v' / (1 + v' * k * t)

v'是上一时刻的速度，t是经过的时间。而距离公式为:

s =ln(1 + v' * k * t)  /  k

其中v和a都是向量，ln是自然对数，在二维和三维空间中可以分别分解为坐标轴的不同分量进行计算。

各种力

说了这么多可能还有人有疑问，各种合力都是那些力啊，首先说一下重力，重力是万有引力的特殊形式，引力公式如下：

Fa = G * m1 * m2 /  r^2

G是万有引力常数，m1与m2是两个物体的质量，r是物体间的距离。根据牛顿第二定律和地球的质量以及引力常数可以求得，海平面附近在地球引力作用下物体的加速度为9.8m/s^2。

然后就是物体的摩擦力，物体的摩擦力比较复杂，既是两个物体在压力作用下，某个接触面阻碍相互运动的力。摩擦力公式为：

Ff = p * N

其中N为垂直于接触面的压力，p为接触面的摩擦系数。摩擦系数分为静摩系数和动摩擦系数，即物体在静止时的摩擦系数和运动时。静摩擦系数一般大于动摩擦系数，即是说物体由静止转向运动要克服一个较大的力，当物体处于运动状态则收到的摩擦力较小。摩擦系数是对于两个接触面统一来说的，而一般在游戏中通过分别设置两个物体的摩擦系数来仿真。

之前变加速运动时提到的流动阻力，比如位于两种流体间运动的物体，比如船在空气和水面间，收到水波的影响。流动阻力一般和速度的平方成反比

F = C * v^2

C为阻力系数。还有就是物体在液体中的浮力，由液体的压强差决定：

F = F_b - F_t

F_b = P * A = p * g * h * A

浮力既是物体在不同高度受到的压力差如（F_b,F_t）决定的，而压力是压强P乘以接触面积A，液体压强P是液体深度h乘以密度p再乘以重力加速度g。

在仿真过程中还经常遇到弹力的例子，根据胡克定律，弹力是由于物体伸长或缩短而受到的力：

Fs = ks * ( L - r )

ks是弹力系数，L是物体伸长或缩短的长度，r是原先的长度。另外阻尼常与弹力联合使用，阻尼是抵消相对速度的力，

Fd = kd * ( v - v')

kd是阻尼常数。两个公式合并后为：

F = -( ks * ( L - r ) + kd * ( ( v - v' ) * L ) / s ) * L / s

L为弹簧阻尼单元的长度向量，而s是L的长度。利用弹簧阻尼单元可以用来仿真布料，将布料网格每个交叉点看做粒子，与周围粒子靠弹簧/阻尼公式连接，这样每个粒子在重力，风等的作用下，网格就呈布料的特性。

第二节 旋转

介绍完线性运动，基本上大部分的力和定理都明白了，但是对于刚体的仿真，在力作用到刚体上时，根据作用点的不同不但会产生线性运动，还会产生转动。计算产生的转动需要的量有力矩和转动惯量。

转动惯量

转动惯量是物体绕轴旋转，其质量呈辐射分布的度量，用于计算物体的旋转。物体到某一轴的转动惯量计算公式为，其各个质点到该轴距离乘积的积分，如三维空间下，对x,y,z轴的转动惯量公式：

I_x =  ∫(y^2+z^2)dm

I_y =  ∫(x^2+z^2)dm

I_z =  ∫(y^2+x^2)dm

根据转动惯量的公式可知，物体相对于其他平行轴的转动惯量为:

I = I_o + m*d^2

其中m是物体自身的质量，d是两平行轴间的距离，I_o是物体相对于自身某转动轴的转动惯量，。当md^2较大时，I_o可以忽略不计。

而对于一些规则物体，其相对于自身转动轴的转动惯量都有可直接计算的公式，如圆柱体，长方体，球体（这也是为什么大多数物理引擎的刚体都支持这些形状的原因之一）。对于这些公式就不再列举了，可以随意查到，有兴趣也可以自己积分一下。

力矩

如果力可以使物体转动，说明作用在物体上的力的力矩不为零，力矩计算如下：

M_cg = r× F

M_cg为力矩，×是叉乘（外积）。F为施加在某一质点的力，r为该力（向量）的作用线（直线）到质心的距离向量。根据作用力的力矩可以求出物体的转动角加速度的方程。

∑M_cg = I*a

其中I为转动惯量，是张量，在三维空间中是3x3的矩阵。∑M_cg为作用力矩的总和。a为角加速度。角加速度和角速度都是垂直于旋转轴的向量，二维空间中是标量。这样在计算过程中可能要不断地计算转动惯量和其逆矩阵，为了方便计算，将其化为局部坐标，公式为:

∑M_cg = I*(dw/dt)+w×(I*w)

w为角速度，t为时间，这样所有量都化成了局部坐标，除非物体质量或形状发生变化，不然物体的转动惯量是常数。

第三节 碰撞

冲量定律

动量就不介绍了，冲量是碰撞前后动量的变化：

Jf = m * ( v - v' )

Jm = I * ( w - w' ) 

m是物体质量，I是转动惯量，w,v是碰撞后的角速度与线速度，w',v'是碰撞前的角速度与线速度。Jf是线性冲量，Jm是角冲量。其中角冲量与线冲量的关系为：

Jm = Jf × r

即线冲量作用线与其到重心的距离向量的外积。因为外积满足分配率，由此可知角动量与线动量的关系。

动量守恒定律

动量守恒定律揭示了两个物体m1与m2碰撞前后速度的关系：

m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2'

其中v1,v2是m1，m2碰撞前的线速度，v1',v2'是m1,m2碰撞后的线速度。这里的v是线速度，如果是角速度则不成立。

能量守恒定律

能量守恒定律表示碰撞的两个物体能量不会损失：

m1 * v1^2 + m2 * v2^2 = m1 * v1'^2 + m2 * v2'^2

参数同上，根据这两个公式可以求出两个物体碰撞后的速度。

但是能量守恒定律都是对于完全弹性碰撞而言的，即刚体形状不发生变化，因为物体形状发生变化要消耗能量，能量消耗就不守恒了。为了仿真非完全弹性碰撞给出了弹性恢复公式：

e = (v1 - v2) / (v1' - v2')

e是恢复系数，根据碰撞物体不同而不同。其中当e=0是完全非弹性碰撞，即碰撞后两个物体合为一个，e=1是完全弹性碰撞即能量守恒。配合动量守恒公式，就可以求出碰撞后两物体的速度了。

最后在计算一些复杂运动物体时，物体碰撞面的线速度是由当前物体的线速度和旋转的角速度组成的，线速度v与角速度w的转换如下：

v = w × r

即线速度是角速度与接触点到质心向量的外积。这里v，w，r都是空间中的向量。

介绍完基本的物理定律，在系统中计算流程一般如下：

1.初始化时计算物体重心，转动惯量

2.在循环仿真中，先计算作用力的合力，力矩，如摩擦力，阻力，重力

3.根据动量定律，速度方程等更新物体位置

4.如果发生碰撞，根据动量守恒定律，角速度与线速度的关系，建立方程即可求得碰撞后的物体状态

这样游戏开发中遇到的基本物理学知识就差不多了。以上的不少变量都是向量，在二维和三维的系统中处理时要用到向量和矩阵运算，有关物体平移，旋转，缩放的操作之后再介绍。