[Leetcode] 363. Max Sum of Rectangle No Larger Than K 解题报告

题目：

Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.

Example:

Given matrix = [
  [1,  0, 1],
  [0, -2, 3]
]
k = 2

The answer is 2. Because the sum of rectangle [[0, 1], [-2, 3]] is 2 and 2 is the max number no larger than k (k = 2).

Note:

1. The rectangle inside the matrix must have an area > 0.
2. What if the number of rows is much larger than the number of columns?

思路：

为分析方便我们假设矩阵有m行n列。一种暴力解法就是枚举每个矩形块，这种算法的时间复杂度是O((mn)^2)，但是我们采用二分查找法进行优化可以将时间复杂度降低到O(n^2mlogm)。以下面的代码为例进行解释：我们枚举列[i, j]之间的数据之和，下面的定义中，sum[x]表示在列i到列j之间，第x行元素的累计和（也就是从matrix[x][i]到matrix[x][j]之间的元素和），而cur_sum表示在列i到列j区间之间，从第0行到第x行之间的数据元素之和（也就是从matrix[0][i]到matrix[x][j]之间的元素和）。明白sum数组和cur_sum的含义是理解本算法的关键。然后我们建立一个二叉搜索树（本文中用set实现）。每次得到一个新的cur_sum时，我们搜索一个此前存在在二叉搜索树中的累积和num，使得cur_sum - num <= k（这意味着在列[i, j]区间，从num所在的行到当前行的所有元素的和小于等于k）。如果这样的num存在，它就是一个潜在解，我们据此更新全局最优值。该算法的空间复杂度是O(m)（主要是累积和sum数组和二叉搜索树st占用了O(m)的空间）。那么如果行个数远大于列个数呢（m >> n）？这种情况下时间复杂度不会增长太快，但是空间复杂度将会增长较大。如果在具体应用中对空间复杂度的要求比较高，那么我们可以反过来枚举任意两行之间数据累积和，这样空间复杂度可以降低到O(n)，但是时间复杂度却会升高到O(m^2nlogn)，所以我感觉是一个trade off。

代码：

class Solution {
public:
    int maxSumSubmatrix(vector>& matrix, int k) {
        if(matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) { 
            return 0;  
        }
        int row = matrix.size(), col = matrix[0].size();  
        int ans =INT_MIN;  
        for(int i = 0; i < col; i++) {                  // the start col
            vector sum(row, 0);  
            for(int j = i; j < col; j++) {              // the end col
                set st{0};  
                int cur_sum = 0, cur_max = INT_MIN; 
                for(int x = 0; x < row; ++x) {          // for each row 
                    sum[x] += matrix[x][j];  
                    cur_sum += sum[x];  
                    auto it = st.lower_bound(cur_sum - k);  
                    if(it != st.end()) {
                        cur_max = max(cur_sum - (*it), cur_max);  
                    }
                    st.insert(cur_sum);  
                }  
                ans = max(cur_max, ans);  
            }  
        }  
        return ans;
    }
};