FPGA数字信号处理（六）直接型IIR滤波器Verilog设计

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该篇是FPGA数字信号处理的第六篇，2-5篇介绍了DSP系统中极其常用的FIR滤波器。本文将简单介绍另一种数字滤波器——IIR滤波器的原理，详细介绍使用Verilog HDL设计直接型IIR滤波器的方法，下一篇会介绍如何用Verilog HDL设计级联型IIR滤波器。

数字滤波器
数字滤波器从实现结构上划分，有FIR和IIR两种。FIR的特点是：线性相位、消耗资源多；IIR的特点是：非线性相位、消耗资源少。由于FIR系统的线性相位特点，设计中绝大多数情况都采用FIR滤波器。

线性相位系统的意义，这里的线性相位指的是在设计者关心的通带范围内，LTI系统满足线性相位要求：
（1）从延时的角度看：保证了输入信号的相位响应是线性的，即保证了输入信号的延时特性。
（2）从相位的角度看：输入的各频率成分的信号之间，相对相位是固定的。通过线性相位系统后，相对相位关系保持不变。

对于关心相位的系统，比如调制解调系统，需要使用FIR滤波器；对于只关心频率成分的系统，比如只是提取某一频率分量，为了节省资源，使用IIR滤波器即可。

IIR滤波器
IIR滤波器的系统函数与差分方程如下所示：

由差分方程可知IIR滤波器存在反馈，因此在FPGA设计时要考虑到有限字长效应带来的影响。差分方程中包括两个部分：输入信号x(n)的M节延时网络，相当于FIR的网络结构，实现系统的零点；输出信号y(n)的N节延时网络，作为系统的反馈，实现系统的极点。

直接由差分方程得到的IIR滤波器称为直接I型结构，如下图所示，左边为零点部分，右边为极点部分：

如果由IIR的系统函数出发，视作两个系统的级联，并且合并公共的延时支路，得到的IIR滤波器称为直接II型结构，如下图所示：

很明显，直接I型结构需要2N个延时单元；直接II型结构仅需要N个延时单元，使用FPGA设计时采用直接II型结构可以节省一些资源。IIR滤波器还有级联型和并联型两种结构，在下一篇的设计中再做介绍。

IIR滤波器在本质上是以模拟滤波器的设计理论为基础的，包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器（I型和II型）、椭圆滤波器等。先设计好模拟滤波器，然后按一定的规则转换成数字滤波器，这种设计方法称为“原型转换设计法”，另外还有“直接设计法”。这两种方法都很繁琐，因此在工程中会借助MATLAB工具来设计IIR滤波器。

MATLAB设计
MATLAB提供了基于原型转换设计法的butter、cheby1、cheby2、ellip函数，分别对应巴特沃斯滤波器、切比雪夫I型/II型滤波器、椭圆滤波器；在频域采用最小均方法设计的yulewalk函数；以及两个应用程序包“Filter Builder”和“Filter Design&Analysis”，后者通常也被称作FDATOOL。现在最受欢迎的设计方式恐怕就是使用FDATOOL工具，功能强大、界面便捷。之前用于设计FIR滤波器，这两个工具也可以用于设计IIR滤波器。

本系列主要是讲述FPGA设计，不详细讨论上述函数及工具的使用，具体情况可以的MATLAB的help中查询。（Ps：博主目前的几个系列都处于开篇阶段，篇幅不多，暂未成体系，目前不再开新坑，等后期应该会出一个“MATLAB数字信号处理系列”）

FPGA设计
从MATLAB到FPGA最重要的工作便是滤波器系数的量化。在MATLAB中将滤波器系数量化为指定位宽，会改变滤波器的频率特性，尤其IIR滤波器存在反馈结构，量化效应和运算时的有限字长效应的影响比FIR滤波器大很多，因此需要做好仿真，确定量化后的系数也能满足IIR的设计需求。

设计一个切比雪夫II型滤波器cheby(7,60,0.5)，进行12bit量化，量化前和量化后的系数如下表所示：

使用MATLAB多设计几个滤波器，就会发现一定的规律：（1）.b和a两个向量的长度相同。（2）.向量b（输入信号x(n)的延迟）具有对称性。（3）.向量a的第一个元素总为1，即y(n)的系数总是1。

值得注意的是，量化后的向量Qa的第一个元素已经不是1，即y(n)多了一个加权系数。IIR中存在反馈结构，输出部分应该除掉这个加权系数，才能保证后续的计算正确。参考IIR滤波器的差分方程和直接I型结构，FPGA整体设计框图如下图所示：

Verilog HDL设计
由于IIR滤波器在DSP系统中不常用，Quartus和Vivado都没有提供相关的IP核，因此只能自己进行Verilog设计。本文设计参考自杜勇老师的《数字滤波器的MATLAB与FPGA实现》。本设计将在Vivado环境下完成并仿真。

零点系数部分可以完全视作一个FIR滤波器结构，设计接口与代码完全相同;极点系数部分也可以视作一个FIR滤波器结构，区别在于：（1）.对反馈回来的信号y(n)做延迟；（2）.系数不对称，不能利用对称性减少乘法器。

上述两个模块设计可以参考“FPGA数字信号处理（二）并行FIR滤波器Verilog设计” https://blog.csdn.net/fpgadesigner/article/details/80594627，也可以下载文末的工程，本文不再赘述。

顶层模块实例化零点和极点两个子模块，并按照设计框图设计减法器和除法器，完成IIR滤波数据的反馈和输出：

`timescale 1ns/1ps
//-------------------------------------------------------
//   IIR滤波器顶层模块
//-------------------------------------------------------
module DirectIIR_liuqi
(
    input rst,                 //高电平有效复位信号
    input clk,                 //系统时钟2kHz
    input signed [11:0] Din,   //采样数据输入2kHz
    output signed [11:0] Dout  //IIR滤波输出
);

//-------------------------------------------------------
//   实例化零点系数模块、极点系数模块
//-------------------------------------------------------
wire signed [20:0] Xout;
wire signed [11:0] Yin;
wire signed [25:0] Yout;

zero U0
(
    .rst   (rst),             
    .clk   (clk),              
    .Xin   (Din),  
    .Xout  (Xout)  
);

pole U1
(
    .rst   (rst),             
    .clk   (clk),              
    .Yin   (Yin),  
    .Yout  (Yout)  
);

//-------------------------------------------------------
//   反馈结构，右移实现除法
//-------------------------------------------------------
wire signed [25:0] Ysum = {{5{Xout[20]}},Xout} - Yout; //减法器
wire signed [25:0] Ydiv = {{9{Ysum[25]}},Ysum[25:9]};  //除法器
assign Yin = rst ? 'd0 : Ydiv[11:0];   //反馈
assign Dout = Yin;  //输出

endmodule

输出部分需要进行截取，截取时可以先进行仿真，只保留一位符号位即可。综合没有问题之后，打开Vivado中的RTL ANALYSIS，直接型IIR滤波器系统原理图如下所示，与预期设计相同：

仿真与工程下载
使用MATLAB生成一个200khz+800kHz的混合频率信号，写入txt文件。编写Testbench读取txt文件对信号滤波，文件操作方法参考“Testbench编写指南（一）文件的读写操作”https://blog.csdn.net/fpgadesigner/article/details/80470972。

对正弦信号的滤波如下图所示：

明显看到经过500Hz低通滤波器滤波后，输入的200+800Hz信号只剩下200Hz的频率分量。
完整的Vivado工程（含testbench仿真）可以在这里下载：https://download.csdn.net/download/fpgadesigner/10471904
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