【技术点】数据结构--B树系列（四）

前言

前几篇文章讲常用的二叉树结构都讲完了。
传送门：
【技术点】数据结构–二叉树（一）
【技术点】数据结构–二叉树（二）
【技术点】数据结构–二叉树之红黑树（三）
在树这种大的数据结构中，除了二叉树，还有几种树是在实际中应用的较多的，比如接下来的几篇文章想将的B树系列(B树/B-树/B+树/B*树)

B树/B-树

首先，这两个树就是同一个东西，只是在翻译的过程中，将“B-Tree”这个专业词汇中间的那根杠杠怎么理解的问题，忽略那根杠杠，就是B树；不忽略就是B-树。
下文统一用B树这个名称。

树结构中的度

在二叉树中，除叶子节点外，每个节点都有不超过2个子节点。那么 每个节点最多的节点数，我们称之为节点的度，或者阶，如果树结构中的节点的度为m，那么我们称这颗树为m阶树。
二叉树用于搜索的话，称作搜索二叉树。如果m阶树用于搜索，我们称之为多路查找树（多条搜索路径），更进一步的就是平衡多路查找树。

B树的结构

一颗M阶B树有如下特征：

1. 节点保存在关键字，每个节点保存的关键字大于ceil(M/2) - 1，小于M-1。像下图的一颗3阶树，最少一颗，最大2个关键字。

2. 节点的子节点数大于1，小于等于M。

3. 每个叶子节点的高度相同。
   
   我们可以用代码来定义一下这个结构：

    typedef BTreeNode {
        int keyNum;   //关键字的个数
        int[] keys; //保存关键字，顺序存储
        BTreeNode * sons[M];  //子节点指针, 最多为M个，若无则为NULL, 初始化都为NULL
        BTreeNode * parent;  //为了方便，增加一个父节点指针
    }
   

B树还具有以下特征(度娘上搬运)：

B树的搜索过程

根据这个结构可知其搜索过程：

1. 从根节点开始，将节点的关键字与搜索值(N)比较，如果找到了，则返回
2. 设每个节点中的关键字个数为K(每个节点的k不相同，2
3. 若 N的位置在关键字数组keys的第 k与k+1关键值之间，那么就去son数组对应的子指针的节点继续搜索
4. 递归上述3个步骤

伪代码：

//伪代码中没有考虑各种为null的情况
function searchInBTree(T, x){
	for (i = 0; i < T.keys.num - 1; i++){  //最后一个关键字单独处理
		if T.keys[i] = x{    //找到了
			return T;
		}else if(x < T.keys[i]){
			searchInBTree(T.sons[i], x);    为什么是i，这个对应关系大家可以对着图比划一下就理解了
		}
	}
	//处理最后一个关键字
	if (T.keys[num] == x){
		return T
	} esle if (T.keys[num] > x){
		searchInBTree(T.sons[M], x);
	}
}

看到这里，我们需要把应该在最前面来写的问题摆出来了，也就是：

为什么要B树，或者说B树和二叉树的应用不同在哪里？

前面讲到二叉树的搜索分叉判断很简单，不是左子树就是右子树。而B树需要在节点的key值中找到相应的指针去递归搜索。增加了搜索操作的复杂度。
但是我们考虑一下实际场景，数据是保存在硬盘上的。假设一颗二叉树的结构保存在硬盘上，没索引一个二叉树节点，都需要进行一次I/O操作，如果深度比较大的话(数据库大表的索引本身也不是一个小数目)，大量的I/O操作会占用大量的时间。那么这个时候B树就可以派上用场了。把多个key值放在同一个节点中可以缩短树的高度，减少大量的I/O。虽然我们需要对每个节点的key值进行搜索寻找下一步递归的指针，但是这个操作是在内存中进行的，而且搜索的长度也不会很大。从时间上来说，是可以减少搜索时间的。
因此，我们可以得到一个大概的原则：

• 数据都保存在内存里，二叉树更方便
• 数据需要进行I/O查询，B树更省时间

所以，很多文件系统的索引都是使用B树来实现，而不是二叉树。

B树的插入

B树的插入总体和二叉树的插入差不多，通过递归找到节点的位置再插入，这里需要多的一个步骤是，需要确定具体子树的指针。但是和二叉树不一样的也有几点：

• 插入后会导致节点超过树的度从而造成节点的分裂
• 在叶子节点上来插入数据，保证所有节点在同一层侧，如果需要分裂，把某个key值提升到parent节点去

我们拿一个随机的数列来构造一颗3度的B树：[ 3,4,1,5,6,9,0,7,8,2 ]


途中竖着的两颗树就表示节点发生分裂的过程：
我们可以把这个过程写成伪代码：

function addNodetoBTree(T, x){
	int degree = 3;  //3度树
	if (T is null){
		T = newNode();
		T.parent = null;
		T.keyNum = 1
		T.keys.add(x)
	}esle{
		if (T.keyNum < degree -1 ){
			T.keyNum ++;
			T.keys.add(x)  //顺序添加，这里不细写
		}esle(T.keyNum = degree){   //先增加、再分裂
			T.keyNum ++;
			T.keys.add(x)  //顺序添加，这里不细写
			if (T is root) {
				parent = newNode()
			}else{
				parent = T.parent
			}
			parent.keyNum++;
			parent.kes.add(T.keys[1])   //中间节点，5度树就是keys[2]，如果是偶数就要规定一下
			T.keyNum--;
			T.keys.remove(T.keys[1]);
			for (i=0; i

B树的删除

和插入相反的是，B树的删除可能导致节点的合并。
在B树的删除操作里，和红黑二叉树类似地，需要引入后继与前继的概念。与二叉树不同的地方在于，而二叉树的前继与后继是节点，而B树里面的前继与后继key值。
前继和后继的key值都是在B树的叶节点里。
我们找到前继或者后继节点之后，可以和二叉树操作类似，把前继或者后继key添加到需要删除的节点里。这样我们就把问题转换成了从叶子节点里删除key值的问题。
这个问题我们分成两种情况：

1. 叶子节点删除这个后继或者前继key值后，节点里的数字仍然超过规定(ceil(M/2) - 1)，那么直接删除即可，不会破坏B树的结构
2. 叶子节点删除这个后继或者前继key值后，，节点里的数字低于规定(ceil(M/2) - 1)，那么需要对节点进行合并

合并的话，也就是需要从其他地方借用一个key值过来，使得自己满足规则。能从哪里借呢？我们可以从两个地方来借：

• 兄弟节点
• 父节点

和现实社会很相近对不对？有困难找亲戚。
还是老样子，我们用图来说明，继续上面的例子：
首先删除节点3：

步骤说明：

1. 前继key值为1，把1插入到删除键值所在的节点
2. 删除键值
3. 把前继key值从所在节点删除，此时，所在节点剩下的key值 >= ceil(3) - 1，所以不需要做其他的操作。

继续，我们再删除节点1：
按照上述的步骤：

此时，我们需要进行合并了。此时，设删除key值为dkey，所在节点为dnode。
4. 从dnode的兄弟节点一起合并，此时dnode已经为空节点，合并了4节点之后也无法符合条件。
5. 兄弟不够，只有啃老，将父节点一起合并。
6. 合并完之后，B树结构处于不平衡的状态，继续进行合并，此时是将较长的一方进行合并(为了缩短路径)
见图：

从图中可以看出，在合并了0,4两个键值之后，造成了key=5所在节点的不平衡，从5往下进行合并来缩短路径(这是一个递归的过程，因为可能第一层无法进行合并)。
这就完了么？怎么可能，从前一句话，大家肯定可以看出来，就算一个递归的规程，假设长的一端递归到了叶子节点也无法合并呢？
考虑下这样一颗B树，根据前面的逻辑删除掉key=1之后是这么一个状况：

已经无法通过压缩根节点的除左子树意外的路径达到平衡了，此时，我们就需要对树进行旋转替换。
如图：

1. 可以找到失衡子树(图中为最左子树)临近的后继或者前继key值。
2. 将这个key值替换成失衡子树的父节点的相应key值
3. 上一步的被替换的key值往失衡子树节点下沉
4. 分拆与旋转失衡子树，使树达到平衡。

好了，删除节点的步骤基本上就是这些，上述的例子都是最左边的子树，而且是3阶树的操作，其他位置的其他阶树的B树，大家可以去推演一下。

下一步

这篇文章本来打算把B/B+/B*树一起讲完的，算了。太多了写起来累，看起来也累。下一篇再将B+树吧。