DFT频谱分析实验

题述

  有一调幅信号$x_\alpha (t)=[1+cos(2\pi \times 100t)]cos(2\pi \times 600t)$,用DFT做频谱分析,要求能分辨出$x_\alpha (t)$的所有频率分量。

 

 

理论分析

  本题考察的是对时域采样和频域采样的理解。

  对于时域采样,不失真的条件是$f_s > 2f_h$,即采样频率必须大于信号的最大频率分量;其次,我们还能得到数字频率量和模拟频率之间的关系:$\omega = \Omega T$,T为采样的时间间隔,该关系是由以下变换得到的:

$x_a(t)=Asin(\Omega t + \varphi ) \rightarrow  x(n)=Asin(\Omega nT + \varphi )=Asin(\omega n + \varphi )$

  对于频域采样,DFT实际上是对Z域单位圆上的等间隔采样,假设输入的有限长序列长度为N,则采样间隔$\Delta \omega = \frac{2 \pi}{N}$。结合时域采样,可知DFT变换的结果$X(k)$各频率点对应的模拟频率为$\Omega = \frac{2 \pi k}{NT}$,频谱的分辨率为$\Delta f = \frac{1}{NT}$。

  显然,如果时域信号里的有较大的频率分量,那么为了保证不失真,就要增大采样频率;但是这样一来会使得频谱分辨率变大,更多的频率分量会被忽略,所以必须增大序列长度N,也就是在时域采更多的点。

  题目中的调幅信号可以简化为$x_\alpha (t)=cos(2\pi \times 600t) + \frac{1}{2}cos(2\pi \times 700t)+ \frac{1}{2}cos(2\pi \times 500t)$。最高频率为700Hz,那么采样频率需满足$f_s > 1.4kHz$,这里取$f_s = 3kHz$;因为信号最小的频率差是100Hz,于是可得$N > 30$。实验中一般选择2的幂次方,利用FFT加速计算。

 

 

 

实验结果

DFT频谱分析实验_第1张图片

 

  这里对比了N=32和N=512的两种情况,在N=32时,由于截断了较少的数据点,频谱发生了严重的泄露,导致其他分量上也出现了较大的幅值;N=512时,频域采样较密,结果更精确。

  另外还应注意到,得到的两个频谱都关于$\omega = \pi$对称。事实上,由于采样条件$f_s > 2f_h$的限制,使得有效的数字频率$|\omega| = \Omega T \leq \frac{2\pi f_h}{f_s} \leq \pi$。也就是说,在$\omega = \pi$的附近是高频,而0和$2\pi$则是低频。有时候,$w=0 \sim \pi$的频谱就完全可以表示时域信号的频率特性,只是DFT是在$w=0 \sim 2\pi$上多采样了半个周期罢了。当然,有时候频谱并不是关于$\omega = \pi$对称的,还得看频域的采样点是否能取到$\omega = \pi$。

 

  

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