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1、最短路径问题
看一个应用场景和问题:
(1) 战争时期,胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在有六个邮差,从 G 点出发,需要分别把邮件分别送到A, B, C , D, E, F 六个村庄
(2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5 公里
(3) 问:如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的最短距离?
(4) 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
2、算法介绍
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。
3、算法过程
(1) 设置出发顶点为 v,顶点集合 V{v1,v2,vi…},v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合 Dis,Dis{d1,d2,di…},Dis
集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作 0,v 到 vi 距离对应为 di)
(2) 从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合,同时移出 V 集合中对应的顶点 vi,此时的 v 到 vi 即为最短路径
(3) 更新 Dis 集合,更新规则为:比较 v 到 V 集合中顶点的距离值,与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值,保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi,表明是通过 vi 到达的)
(4) 重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
4、最佳应用
package Algorithm.Dijkstra;
import java.util.Arrays;
/**
* Dijkstra算法
*/
//定义图
class Graph{
private char[] vertexs;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
private VisitedVertex vv;//已访问顶点集合
public Graph(char[] vertexs, int[][] matrix) {
this.vertexs = vertexs;
this.matrix = matrix;
}
public void show(){
for (int[] link : matrix){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* dijkstra算法
* @param index 出发顶点的下标
*/
public void dijkstra(int index){
vv = new VisitedVertex(vertexs.length, index);
upDate(index);//更新 index 顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
for (int i = 1; i < vertexs.length; i++) {
index = vv.upDateArr();//选择新的访问结点
upDate(index);//更新 index 顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
}
}
/**
* 更新 index 下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,
* @param index
*/
private void upDate(int index){
int len = 0;
//根据遍历我们的邻接矩阵的matrix[index]行
for (int i = 0; i < matrix[index].length; i++) {
//len含义是: 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到i顶点的距离的和
len = vv.getDis(index) + matrix[index][i];
// 如果 i 顶点没有被访问过,并且 len 小于出发顶点到 i 顶点的距离,就需要更新
if (!vv.isVisited(i) && len < vv.getDis(i)){
//更新 j 顶点的前驱为 index 顶点
vv.updatePre(i,index);
//更新出发顶点到 j 顶点的距离
vv.updateDis(i,len);
}
}
}
public void showResult(){
vv.showResult();
}
}
//已访问顶点集合
class VisitedVertex{
// 记录各个顶点是否访问过 1 表示访问过,0 未访问,会动态更新
public int[] already_visited_arr;
// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
public int[] pre_visited_vertex;
// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离
public int[] dis;
/**
* 构造器
* @param length 顶点个数
* @param index 出发顶点对应的下标
*/
public VisitedVertex(int length, int index){
this.already_visited_arr = new int[length];
this.pre_visited_vertex = new int[length];
this.dis = new int[length];
//初始化dis数组
Arrays.fill(dis,Integer.MAX_VALUE);
this.already_visited_arr[index] = 1;//设置出发顶点被访问过
this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为 0
}
public void showResult(){
for (int i : already_visited_arr){
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
for (int i : pre_visited_vertex){
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
for (int i : dis){
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
int count = 0;
for (int i : dis){
if (i != 65535){
System.out.print(vertex[count] + "(" + i+ ") ");
}else {
System.out.println("N");
}
count++;
}
}
/**
* 判断index顶点是否被访问过
* @param index
* @return 访问过就返回true 否则返回false
*/
public boolean isVisited(int index){
return already_visited_arr[index] == 1;
}
/**
* 更新出发点到顶点index顶点的距离
* @param index
* @param len
*/
public void updateDis(int index,int len){
dis[index] = len;
}
/**
* 更新pre这个结点的前驱结点为index结点
* @param pre
* @param index
*/
public void updatePre(int pre, int index){
pre_visited_vertex[pre] = index;
}
/**
* 返回出发顶点到index顶点的距离
* @param index
* @return
*/
public int getDis(int index){
return dis[index];
}
/**
* 继续选择并返回新的访问顶点
* @return 新节点的下标
*/
public int upDateArr(){
int min = 65535;
int index = 0;
for (int i = 0; i < already_visited_arr.length; i++) {
if (already_visited_arr[i] == 0 && dis[i] < min){
min = dis[i];
index = i;
}
}
already_visited_arr[index] = 1;//更新被访问过
return index;
}
}
public class Dijkstra {
private static final int INF = 65535;
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
matrix[0]=new int[]{INF,5,7,INF,INF,INF,2};
matrix[1]=new int[]{5,INF,INF,9,INF,INF,3};
matrix[2]=new int[]{7,INF,INF,INF,8,INF,INF};
matrix[3]=new int[]{INF,9,INF,INF,INF,4,INF};
matrix[4]=new int[]{INF,INF,8,INF,INF,5,4};
matrix[5]=new int[]{INF,INF,INF,4,5,INF,6};
matrix[6]=new int[]{2,3,INF,INF,4,6,INF};
//创建一个图
Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
//graph.show();
graph.dijkstra(2);
graph.showResult();
}
}