以逆序对为中心的奇技淫巧&离散化&权值线段树&动态开点线段树

本文将详细讲解以下内容：

• 离散化
• 权值线段树
• 动态开点线段树

逆序对问题

直接看这道题目把：
LGOJ P1908 逆序对

思路1 归并排序

详情看这篇博客。

思路2 离散化+区间维护

由于我们发现原数的范围过大（$\le 10^9$），而我们求逆序对只需要知道每两个元素的相对大小关系，我们可以使用离散化的思想。
我们先讲离散化

PART1 离散化

离散化就是这种操作：保留一组长度为$n$数据的大小关系，而使这组数据的值域缩小至$n$以内。这样可以很方便的以数组下标进行操作。
比如(a[0]不存)：
a[7]={0, 3, 34, 8, 34, 7, 10}
离散化后这六个元素会变为
b[7]={0, 1, 5, 3, 5, 2, 4}
我们就这样完成了离散化的操作！
下面介绍离散化的两种方法（我个人喜欢第2种）

---

我们假设要将$n$个数$a[1..n]$（$a[i]\le 10^9$）离散化

方法1

#include
int n;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
int id[MAXN];
int cntv;
bool cmp(int x, int y) {
    return a[x] < a[y];
}
int main() {
	//RS();
	n = read();
	for(rg int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), id[i] = i;
	std::sort(id + 1, id + 1 + n, cmp);
	b[id[1]] = ++cntv;
	for(rg int i = 2; i <= n; i++)
	    b[id[i]] = (a[id[i]] != a[id[i - 1]]) ? ++cntv : cntv;
	//To do sth
	return 0;
}

这样弄完后，$b[i]$就是离散化后的$a[i]$，且b的值域是$[1,cntv]\cap Z$

方法2

我们可以使用STL~

#include
int szb, n;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
int c[MAXN];
int main() {
    szb = n = read();
    Rep(i, 1, n) a[i] = b[i] = read();
    std::sort(b + 1, b + n + 1);
    szb = std::unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    Rep(i, 1, n) c[i] = std::lower_bound(b + 1, b + 1 + szb, a[i]) - b;
   //To do sth
   return 0;
}

这样弄完后，$c[i]$就是离散化后的$a[i]$，且c的值域是$[1,szb]\cap Z$

PART2 区间维护数据结构

我们考虑如何查找逆序对。
对于原序列（假设为$a[...]$）中的每个数，它造成的逆序对贡献就是所有在它位置之前的、比它大的数的个数。
不难想到我们从前往后将原序列中的每个数插入一个数据结构，并统计此时比这个数大的数的个数。

---

我们需要每次询问$O(logn)$完成的数据结构
我们要完成区间查询，单点修改。
我们可以使用权值线段树，或权值树状数组

权值线段树

其实就是把权值作为下标，进行插入。一般需要离散化，不然会MLE
详情看代码：

#define USEFASTERREAD 1

#define rg register
#define inl inline
#define DEBUG printf("qwq\n")
#define DEBUGd(x) printf("var %s is %lld", #x, ll(x))
#define DEBUGf(x) printf("var %s is %llf", #x, double(x))
#define putln putchar('\n')
#define putsp putchar(' ')
#define Rep(a, s, t) for(rg int a = s; a <= t; a++)
#define Repdown(a, t, s) for(rg int a = t; a >= s; a--)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#include

#if USEFASTERREAD
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
#endif
namespace IO {
	inl void RS() {freopen("test.in", "r", stdin), freopen("test.out", "w", stdout);}
	inl ll read() {
		ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
		for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
		for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
		return x * f;
	}
	inl void write(ll x) {
		if(x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
		if(x >= 10) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
	inl void writeln(ll x) {write(x), putln;}
	inl void writesp(ll x) {write(x), putsp;}
}
using namespace IO;
template<typename T> inline T Max(const T& x, const T& y) {return y < x ? x : y;}
template<typename T> inline T Min(const T& x, const T& y) {return y < x ? y : x;}
template<typename T> inline void Swap(T& x, T& y) {T tmp = x; x = y; y = tmp;}
template<typename T> inline T Abs(const T& x) {return x < 0 ? -x : x;}
#include

const int MAXN = 5e5 + 5;
int szb, n;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
struct Segment_tree {   //权值线段树
    #define ls o << 1
    #define rs o << 1 | 1
    int l[MAXN << 2];
    int r[MAXN << 2];
    ll v[MAXN << 2];
    //单点修改不用lazy_tag
    void pushup(int o) {
        v[o] = v[ls] + v[rs];
    }
    int len(int o) {return r[o] - l[o] + 1;}
    void build(int o, int L, int R) {
        l[o] = L, r[o] = R;
        if(L == R) return;
        int m = (L + R) >> 1;
        build(ls, L, m);
        build(rs, m + 1, R);
        //建空树不用pushup
    }
    void add(int o, int x, ll k) {
        if(l[o] == r[o]) {
            v[o] += k;
            return;
        }
        int m = (l[o] + r[o]) >> 1;
        if(x <= m) add(ls, x, k);
        else add(rs, x, k);
        pushup(o);
    }
    ll sum(int o, int x, int y) {
        if(x <= l[o] && r[o] <= y) return v[o];
        int m = (l[o] + r[o]) >> 1;
        ll ans = 0;
        if(x <= m) ans += sum(ls, x, y);
        if(y > m) ans += sum(rs, x, y);
        return ans;
    }
    #undef ls
    #undef rs
}tr;
ll ans;
int main() {
	//RS();
    szb = n = read();
    Rep(i, 1, n) a[i] = b[i] = read();
    std::sort(b + 1, b + n + 1);
    szb = std::unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    Rep(i, 1, n) a[i] = std::lower_bound(b + 1, b + 1 + szb, a[i]) - b;
    tr.build(1, 1, n);
    Rep(i, 1, n) {
        tr.add(1, a[i], 1);
        ans += tr.sum(1, a[i] + 1, szb);
    }
    writeln(ans);
	return 0;
}

权值树状数组

同理。

#define USEFASTERREAD 1

#define rg register
#define inl inline
#define DEBUG printf("qwq\n")
#define DEBUGd(x) printf("var %s is %lld", #x, ll(x))
#define DEBUGf(x) printf("var %s is %llf", #x, double(x))
#define putln putchar('\n')
#define putsp putchar(' ')
#define Rep(a, s, t) for(rg int a = s; a <= t; a++)
#define Repdown(a, t, s) for(rg int a = t; a >= s; a--)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#include

#if USEFASTERREAD
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
#endif
namespace IO {
	inl void RS() {freopen("test.in", "r", stdin), freopen("test.out", "w", stdout);}
	inl ll read() {
		ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
		for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
		for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
		return x * f;
	}
	inl void write(ll x) {
		if(x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
		if(x >= 10) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
	inl void writeln(ll x) {write(x), putln;}
	inl void writesp(ll x) {write(x), putsp;}
}
using namespace IO;
template<typename T> inline T Max(const T& x, const T& y) {return y < x ? x : y;}
template<typename T> inline T Min(const T& x, const T& y) {return y < x ? y : x;}
template<typename T> inline void Swap(T& x, T& y) {T tmp = x; x = y; y = tmp;}
template<typename T> inline T Abs(const T& x) {return x < 0 ? -x : x;}
#include

const int MAXN = 5e5 + 5;
int szb, n;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
struct trarray {
    ll t[MAXN];
    static int lowbit(int x) {
        return x & (-x);
    }
    void add(int x, ll k) {
        for(rg int i = x; i <= szb; i += lowbit(i)) t[i] += k;
    }
    ll ask(int x) {
        ll ans = 0;
        for(rg int i = x; i; i -= lowbit(i)) ans += t[i];
        return ans;
    }
}tr;
ll ans;
int main() {
	//RS();
    szb = n = read();
    Rep(i, 1, n) a[i] = b[i] = read();
    std::sort(b + 1, b + n + 1);
    szb = std::unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    Rep(i, 1, n) a[i] = std::lower_bound(b + 1, b + 1 + szb, a[i]) - b;
    Rep(i, 1, n) {
        tr.add(a[i], 1);
        ans += tr.ask(szb) - tr.ask(a[i]);
    }
    writeln(ans);
	return 0;
}

思路3 动态开点线段树

为了防止权值线段树的权值值域过大且难以缩小（如题目强制在线而无法离散化），我们可以使用动态开点线段树。
什么叫动态开点？就是不会用到的点我不开，要用到的点就要用的时候临时开。
实现的时候，一般使用指针动态建树。但是为了减小常数、防止内存泄漏等诸多问题，我们一般会采用建立内存池、数组下标模拟指针的方法。（这种方法相当重要，以后学习平衡树等数据结构也常常用到）
其实实现不难，但是常数有点大（搞得我TLE了几个点）

#define USEFASTERREAD 1

#define rg register
#define inl inline
#define DEBUG printf("qwq\n")
#define DEBUGd(x) printf("var %s is %lld", #x, ll(x))
#define DEBUGf(x) printf("var %s is %llf", #x, double(x))
#define putln putchar('\n')
#define putsp putchar(' ')
#define Rep(a, s, t) for(rg int a = s; a <= t; a++)
#define Repdown(a, t, s) for(rg int a = t; a >= s; a--)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#include

#if USEFASTERREAD
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
#endif
namespace IO {
	inl void RS() {freopen("test.in", "r", stdin), freopen("test.out", "w", stdout);}
	inl ll read() {
		ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
		for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
		for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
		return x * f;
	}
	inl void write(ll x) {
		if(x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
		if(x >= 10) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
	inl void writeln(ll x) {write(x), putln;}
	inl void writesp(ll x) {write(x), putsp;}
}
using namespace IO;
template<typename T> inline T Max(const T& x, const T& y) {return y < x ? x : y;}
template<typename T> inline T Min(const T& x, const T& y) {return y < x ? y : x;}
template<typename T> inline void Swap(T& x, T& y) {T tmp = x; x = y; y = tmp;}
template<typename T> inline T Abs(const T& x) {return x < 0 ? -x : x;}
#include
#include
#define Clear(arr) memset(arr, 0x00, sizeof arr)

const int MAXN = 5e5 + 5;
const int MAXV = 1e9 + 7;
int n;
ll a[MAXN];
struct Segment_tree {
    int ls[7000005];
    int rs[7000005];
    ll v[7000005];
    int cnt;
    //动态开点.（上面的可以理解成内存池）
    Segment_tree() {
        Clear(ls), Clear(rs), Clear(v);
        cnt = 1;//先把第一个点建好
    }
    int crenode() {
        ++cnt;
        v[cnt] = ls[cnt] = rs[cnt] = 0;
        return cnt;
    }
    void pushup(int o) {
        v[o] = v[ls[o]] + v[rs[o]];
    }
    void modify(int o, ll l, ll r, ll x) {
        if(l == r) {
            v[o]++;
            return;
        }
        ll m = (l + r) >> 1;
        if(x <= m) {
            if(!ls[o]) ls[o] = crenode();
            modify(ls[o], l, m, x);
        } else {
            if(!rs[o]) rs[o] = crenode();
            modify(rs[o], m + 1, r, x);
        }
        pushup(o);
    }
    ll ask(int o, ll l, ll r, ll x, ll y) {
        if(!o) return 0;
        if(x <= l && r <= y) return v[o];
        ll m = (l + r) >> 1;
        ll ans = 0;
        if(x <= m) ans += ask(ls[o], l, m, x, y);
        if(y > m) ans += ask(rs[o], m + 1, r, x, y);
        return ans;
    }
}tr;

ll ans;
int main() {
	//RS();
    n = read();
    Rep(i, 1, n) a[i] = read();
    for(rg int i = 1; i <= n; i++) {
        tr.modify(1, 1, MAXV, a[i]);
        ans += tr.ask(1, 1, MAXV, a[i] + 1, MAXV);
    }
    writeln(ans);
	return 0;
}