判断函数相等+判断反函数+判断周期函数

下列命题正确的是：

\(1.\)函数\(y=\frac{1}{2}ln(\frac{1-cosx}{1+cosx})\)和函数\(y=ln(tan\frac{x}{2})\)是同一函数

\(2.\)若函数\(y=f(x)\)和\(y=g(x)\)的图像关于\(y=x\)对称，则函数\(y=f(2x)\)和\(y=\frac{1}{2}g(x)\)的图像也关于\(y=x\)对称

\(3.\)若奇函数\(f(x)\)的定义域内任意\(x\)都有\(f(x)=f(2-x)\)，则\(f(x)\)为周期函数

解答：

\(1.\)判断函数是否相等要判断定义域，解析式，值域是否分别相等

\[\frac{1-cosx}{1+cosx}>0,1+cosx\neq 0 \]

得到

\[x\neq kπ，k\in Z \]

\[tan\frac{x}{2}>0 \]

得到

\[2kπ

定义域不同

\(2.\)

由\(y=f(x)\)和\(y=g(x)\)关于\(y=x\)对称得到，\(f(x)\)与\(g(x)\)互为反函数

\[y=f(2x) \]

\[g(y)=g(f(2x)) \]

\[g(y)=2x \]

\[x=\frac{1}{2}g(y) \]

交换\(x,y\)得到

\[y=\frac{1}{2}g(x) \]

所以\(y=f(2x)\)和\(y=\frac{1}{2}g(x)\)也互为反函数，图像关于\(y=x\)对称

\(3.\)根据\(f(x)=f(2-x)\)得出函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称

因为\(f(x)\)是奇函数，所以关于原点对称

因为有两个对称因素，所以\(f(x)\)是奇函数