蓝桥杯 算法训练 K好数（动态规划）

蓝桥杯 算法训练 K好数（动态规划）

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问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

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输入格式

输入包含两个正整数，K和L。

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输出格式

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

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样例输入

4 2

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样例输出

7

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数据规模与约定

对于30%的数据，KL <= 106；

对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；

对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。

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思路

​ 首先看到要取模，大概率不能用深搜暴力，且数据规模较大,深搜只能过百分之30的数据。而我们一一列出来的时候，是可以根据L-1的情况填数的，故有依赖于子结构，所以我们用动态规划。

1.确立dp数组的含义

​ 对于这种连续数字的，我们一般都根据末尾来存储状态，以及上文提到过的还要根据L的状态，所以我们需要一个二维数组dp。dp[i][j]表示在L=i时末位为J有多少种。每次填充数组时候都需要进行取模的运算。最后的答案就是对i=L的情况下J从1到K-1进行叠加。为什么是这样，往后看。

2.找到状态转移方程

​ 思考一下，在L=1的时候有0，1，2，3总共4种。如果我们要天下L=1且结尾J=1的情况，且不能够相邻。我们只用在1和3后面加1，即11和13两种，所以就是把不相邻的情况加起来就行了。注意，虽然最后答案不存在以0开头的数字，但是在计算的时候我们也要计算，不然如果求解K=4，L=3的情况下，类似200这种情况就算不到，因为在L=2的时候我们不算00这种情况。所以最后需要从1到K-1进行叠加而不是0到K-1进行叠加。举个例子，按照这个状态转移方程算出来如下。

​

				总共
i=2,j=0	00	20	30	3
i=2,j=1	11	31		2
i=2,j=2	02	22		2
i=2,j=3	03	13	33	3

​ 多出来的0开头的就相当于J=0的时候调转过来，所以数目是一样的，因此就是对于dp数组i=L情况下j从0到K-1叠加减去i=0,就相当于对i=L的情况下J从1到K-1进行叠加。

3.填表并赋初始值

​ 以K=4，L=3为分析

​ 对于前面的分析，表格如下

i\j	0	1	2	3
0
1
2
3

​ 因为我们每填一个表格都需要i-1的情况，因此在i=0时候是没有的，而i=0没有意义我们不管就是默认值0，然后i=1一位数的情况是不管以什么结尾都是只有1种情况，最后填完初始表格如下。

i\j	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2
3

​ 最后根据状态转移方程完善表格，如下

i\j	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	3	2	2	3
3	8	5	5	8

最后答案就是i=3,j=1,2,3（直到K-1）相加，结果为5+5+8=13.最后写代码时候记得取余，因为a+b=c，则a%x+b%x=c%x.

最终代码

import java.util.Scanner;

/**
 * @author Meng
 * @date 2020/2/1
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        int K=scanner.nextInt();
        int L=scanner.nextInt();
        int[][] dp=new int[L+1][K];
        for(int i=0;i<K;i++){
            dp[1][i]=1;
        }
        for(int i=2;i<L+1;i++){
            for(int j=0;j<K;j++){
                for(int k=0;k<K;k++){
                    if(Math.abs(k-j)!=1){
                        dp[i][j]+=dp[i-1][k];
                        dp[i][j]%=1000000007;
                    }
                }
            }
        }
        int result=0;
        for(int i=1;i<K;i++){
            result+=dp[L][i];
            result%=1000000007;
        }
        System.out.println(result);
    }
}