最大流问题

参考链接： http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/04/19/80470.aspx

对最大流问题比较感性的认识，要看证明还是要看算法导论的相关章节。

最大流问题：

给定一个有向图，一般情况下边的值为整数，定义不直接相连的节点间的边值为0，如果有节点i和j直接由多条边，则将这些边合并为一条，值取和。则若i到j有边，则j到i的边为0，这些边称为反向边。定义其中的两个点位源点和汇点，则这个有向图可以视为流网络。网络中的有向边的值表示可以通过该边的最大流量，最大流问题就是求从源点出发，流进汇点的最大流量。

为了求最大流，必须了解残余网络，增广路径，反向弧等概念。

残余网络是针对流网络的某个状态而定义的。

如图是一个流网络的状态，其中1为源点，7为汇点，每天边的值为v/c的形式表示，v代表当前状态该边上的实际流量，c代表该边的最大流量：

则它的残余网络就是从中找到一个从源点到汇点的路径（该路径中不存在值为0的边），选取这条路径中v的最小值minflow，也就是该路径的实际流量，然后将该路径的所有边的实际容量都更新为c(i,j)-minflow，并修改其反向边的值为c(j,i)+minflow（这一步的意义可能是直接的贪心求法无法得到最优解，需要增加方向边来修正错误？）。这样的一条路径称为增广路径，修改值后的流网络成为残留网络。增广路径的意义在于能给当前最大流增加多少的值，而残余网络的意义在于每个节点从源点的流入量还能增加多少，0表示不能再增加了。当残留网络中没有增光路经时，则当前流入汇点的流值为最大流。

下图是找到两条增光路经，并修改流网络后的残余网络（我感觉此时3到4，5到6和6到7之间应该仍然为0）：

以上方法为Ford-Fulkerson方法，该方法的一种实现是基于BFS的Edmonds-Karp算法。

算法流程如下：

  设队列Q：存储当前未访问的节点，队首节点出队后，成为已检查的标点；

  Path数组：存储当前已访问过的节点的增广路径；

  Flow数组：存储一次BFS遍历之后流的可改进量；

  Repeat:

    Path清空；

    源点S进入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；

    While Q非空 and 汇点T未访问 do

        Begin

            队首顶点u出对；

            For每一条从u出发的弧(u,v) do

                If v未访问 and 弧(u,v) 的流量可改进；

                Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入队 and Path[v]<-u；

    End while

   

    If(汇点T已访问)

    Then 从汇点T沿着Path构造残余网络；

  Until 汇点T未被访问

POJ上一到入门级的最大流问题：例题： http://poj.org/problem?id=1273

例题的代码实现，基本仿照参考链接：

说明：

start：源点

terminal：汇点

map[LEN][LEN]：流网络

bfsqueue：每一状态中，用BFS最增广路经，每次只求一条增广路径

minflow[LEN]：记录从源点流入每个点的最大可能值，这个值也将该路径中的最小值（该路径的实际流量）一直传递到汇点。该值是每次BFS都要保留的

path[LEN]：记录增广路径，其中path[j] = i表示从节点 i 流向节点 j 。同时也记录了每次bfs时记录是否考察了当前节点。

每次BFS完后，查看path[terminal]，如果path[terminal]==-1，则表示没有从源点到汇点的增广路径了。

每次BFS完后，要更新增广路径中的容量和方向路径的容量，因为minflow已经记录了增光路经中的最小值，用minflow[terminal]更新即可。

#define LEN 201
int map[LEN][LEN];
int minflow[LEN];
int n,m;
int start;
int terminal;
queue< int> bfsqueue;
int bfs(int path[LEN]){
                memset(path,-1, sizeof (int )*LEN);
                 while (!bfsqueue.empty()) bfsqueue.pop();
                path[start] = 0;
                minflow[start] = MAXINT;
                bfsqueue.push(start);
                 while (!bfsqueue.empty()){
                                 int node = bfsqueue.front();
                                bfsqueue.pop();
                                 for (int i=1;i<=m;++i){
                                                 if (path[i] == -1 && map[node][i]!=0 && i != start){
                                                                minflow[i] = (minflow[node]