Floyd算法相关
- 前言
- 简介
- Floyd求多源最短路
- 简介
- 原理
- 正确性解释
- CPP源码
- Floyd求无向图最小正环
- 简介
- 算法原理
- 正确性证明
- CPP源码
- 例题
- winmt长跑
- 题目背景
- 题目描述
- 输入输出格式
- 输入格式
- 输出格式
- 输入输出样例
- 数据范围及约定
- winmt长跑
- 后记
前言
这是NOIP最后冲刺阶段写的复习性质的博客。
简介
这篇博客包含了Floyd算法的内容。
主要包括：
Floyd求多源最短路
Floyd求无向图最小正环
复习性质的博客。
Floyd求多源最短路
简介
这个东西求最短路的方式比较神奇。进行完一次 O(n3) 的算法以后，你就可以得到一个存储这结果的数组 d ，那么 d[i][j] 就是 i 到 j 的最短路长度。
这个算法同时支持有向图和无向图。
原理
首先枚举一个中间节点 k ，然后枚举起始点 i 和终点 j ，比较 d[i][k]+d[k][j] 和 d[i][j] 的大小，把较小的一个的值赋给 d[i][j] 。即：
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}注意，在初始状态下， d 数组的处理方式：
如果 i→j 可达：
有向边：有一条边从 i 到 j 。
无向边： 有一条边连接 i 和 j 。
那么， d[i][j] 的值就是这条边的长度。
否则，它的长度就是无穷大（以下简称 INF ）。
正确性解释
你打眼一看，这个东西似乎有说不通的地方：
我们在一开始的时候， d 数组的元素几乎都是 INF ，但是它却是作为更新的标准，这样不会导致更新的内容无效嘛？
如果你只是站在前几个 k 的取值上看，是的，这样做确实是无效的。
但是你注意看，这样的操作我们进行了 n 次，我们寻找了 n 次中间点。而且你会发现：我们在进行操作的时候，其实是三维操作（ i、j、k ），而操作的对象 d 则是一个二维的对象（ i、j ）。因此我们可以相信它有能力将先前无效的操作抵消掉，变成有效的操作。因为每次选取一个新的中间点，这之中必定会有有效操作，而随着 k 的值越来越大，有效操作的个数也会越来越多。最终，所有操作均为有效操作。
当然，这只是一个非常笼统的解释。如果你想要更科学的解释，你往下看：
最短路径中的Floyd算法（弗洛伊德算法）的较为严格的冥想证明过程
作者：李均宇（李恒星） 2015.10.31
仍用数学归纳法，假设：
N≤n 时，弗法正确。
当 N=n+1 时，假设最新一点最后一点为 K ，此时 K=n+1 ，
三重循环中，我们都把 K 排在循环中的最后一位。
现在我们要证明的是，加上新点 K 点后，经过弗法的三重循环，原来的 n 点之间仍是最短距离，但是 n 点与 K 点之间的短离是不是最短的就不知的。
如果原来的 n 点的某两点之间最短距是与 K 点无关的，显然经过三重循环后，就是最短距了。
如果原来的 n 点的某两点之间最短距是经过 K 点的，假设 P1 , P2 , P3 ,······, Pk−1 , Pk , Pk+1 ,······, Pm 本应是实边最短距，不是虚边最短距。
那么由弗法知， P1 , P2 , P3 ,······, Pk−1 与 Pk+1 ,······, Pm 已是连通的最短路了。且 Pk−1Pk 与 PKPK+1 是原始实边，不是虚边。
经过最外层最后一次循环的松驰操作，必能连通 P1 , P2 , P3 ,······, Pk−1 , Pk , Pk+1 ,······, Pm 。
所以得证：加上新点 K 点后，经过弗法的三重循环，原来的 n 点之间仍是最短距离，但是 n 点与 K 点之间的短离是不是最短的就不知的。
由于对称性，将 K 点置入内部，把 P1 点放到最后一点，原来的循环结果不会变的，
所以三重循环后， K 点与原来的点（除 P1 外）的最短距，就可以求出来了。
由于对称性，将 K 点置入内部，把 P2 点放到最后一点，原来的循环结果不会变的，所以三重循环后， K 点与原来的点（除 P2 外，但 P1 不除外）的最短距，就可以求出来了。
所以 K 点与原来的 n 个点的最短距，也就已经求出来的了，仍是原来的三重循环也。
这样，弗法就可以较为严格的证明了。
CPP源码
上面已经有了，再放一次没有意义。
Floyd求无向图最小正环
简介
这个东西，GAO♂了好久才弄明白。。。QAQ
主要用途就是对于一个给定的图，求其最小环的长度（环是指从一个节点出发，在路径不重复的情况下能回到这个点的路径，最小环是指环上的路径权值和最小的环）。
那么，这个图的最小环长度就是3。
算法原理
这个就比较难解释了哈。。。
首先来讲，我们先要明确一下我们到底要求什么。我们要求的是最小环的长度，那么我们只要在外面定义一个变量来记录最小环的长度就行了。
同普通的Floyd求最短路的算法是一样的，首先在最外层定义中间节点 K ，然后内层为起点和终点 i 、 j 。
由于Floyd算法具有其特殊的性质（在上面的最短路用途中进行了简单证明），因此我们应该确保最短路和最小环的求取保持一致，即同时进行。
int min_loop=INF;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!m[i][k]||!m[k][j]) continue;
min_loop=min(min_loop,m[i][k]+m[k][j]+d[j][i]);
}
}//找最小环
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}//找最短路
}就像这样，不断更新，最终就成功了。。。
正确性证明
这个我认为它的证明跟最短路那个是一样的。。。这里不再“赘述”了。。。其实根本不会证明【滑稽】
CPP源码
咳，上面就是啊。。。
例题
这里带一道裸的题来。。。《winmt长跑》（可能无权限访问）
《winmt长跑》
题目背景
winmt决定绕公园长跑了！公园中有 N 个路口，两个路口之间可能直接有道路相连，道路均为双向道路。
winmt的跑步线路只能是一个回路，不能经过同一条路两次。也就是说，winmt可以任取一处路口出发，依次经过若干个路口，最终回到起点。由于winmt实在不想跑太长的路，于是他想请你帮他求出最优的路线。
题目描述
请你帮他求出最短的跑步路线。
输入输出格式
输入格式：
输入中有多组数据。对于每组数据：
第一行有两个正整数 N， M，分别表示公园中路口的个数和道路的个数，道路均为双向道路。
以下 M 行，每行三个正整数，分别表示一条道路的两端的编号，以及这条道路的长度。 最后以 0 0 结束。
注意：可能有重边。发现重边后，一律覆盖处理，即以最后读进来的边为准。
输出格式：
对于每组数据，输出一行：
如果该回路存在，则输出一个正整数，表示该回路的总长度；否则输出”No solution.”（不要输出引号）
输入输出样例
输入样例#1：
5 6 1 4 1 3 1 10 1 2 16 2 3 100 2 5 15 5 3 20 4 3 1 2 10 1 3 20 1 4 30 0 0输出样例#1：
61 No solution.数据范围及约定
时空限制： 1000ms,512MB
数据规模：
对于30%的数据， n≤12；
对于100%的数据， n≤100，道路长度≤1000，数据总组数不超过10组。
标准的一眼题。直接套用模板就好了。
#includeelse cout<return 0;
}
后记
好了讲完了。什么？你不懂？这不赖我。。。。。。
【理直气壮的天使小姐姐】