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cs231n （六）神经网络 part 2:传入数据和损失

标签（空格分隔）： 神经网络

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0.回顾

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1. 引言

五系列我们讲了神经元模型，主要是加个激活函数，然后定义损失，然后梯度下降。

2. 初始化数据和模型

这里主要是数据预处理、权重初始化啦、还有损失函数的构建，优化问题不要着急哈。

1. 数据预处理阶段

这个可是很重要的级阶段，就像你做饭，食材是很重要的。
基本术语和符号：数据矩阵X = [NxD] = 100x3072

处理方式：

1. 减去均值，一般也称作去中心化：想象一个数据云图，就是把他们移到原点
   实现代码： X -= np.mean(X, axis=0)，或者 X -= np.mean(X)

2. 归一化数据， 将维度中心化，就是让大家相差不太，数值近似相等
   实现方法：

• 先对数据零中心化，然后除以标准差： X /= np.std(X, axis=0)
• 对每个维度都做归一化，使得他们范围一致【-1，1】，适用于：数据特征的计算单位不一样。

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上述预处理方法可以从这里看出：左 原始数据，中：减去均值方法，右：除以标准差之后的

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白化和PCA

主要方法：先对数据零中心化，然后计算协方差矩阵。

# 输入数据矩阵X = [N x D]
X -= np.mean(X, axis = 0) # 进行零中心化 重点
cov = np.dot(X.T, X) / X.shape[0] # 得到协方差矩阵

协方差矩阵是什么？ 第（i,j）的元素就是第i个数据的j维度的协方差，矩阵的对角线上是元素的方差，我们可以对协方差矩阵进行SVD奇异值分解

U,S,V = np.linalg.svd(cov)

其中 U的列是特征向量，S 是含有奇异值的1维数组，为达到去除数据的相关性，我们把去零中心化的数据投影到特征基上

Xrot = np.dot(X,U) # 去相关性

np.linalg.svd的返回值U中，特征向量是按照特征值的大小排列的，这样就可以进行数据降维了俗称主成分分析PCA,详细内容可以查看我的博客。

Xrot_reduced = np.dot(X, U[:,:100]) # Xrot_reduced 变成了 [N x 100]

这样原始数据就降维到了 Nx100

接下来说一下白化，输入：特征基准上的数据，对每个维度除以其特征值实现归一化。

因为数据一般是符合高斯分布的，白化后，那么得到均值是零，协方差是相等的矩阵。

Xwhite = Xrot / np.sqrt(S + 1e-5)，这里添加了1e-5是防止分母是零情况

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依次是：原始，PCA, 白化后的数据。

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可以看看对于实际数据预处理之后的样子。

左：原始数据，中：3072特征值向量的最大的144，右：PCA降维后的数据，右右：白化数据

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注意的是：我们一般是在训练集上进行数据进行预处理，验证和测试集减去的是训练数据均值

2. 权重初始化

训练前我们是没有权重的怎么办？
随机啊 ！聪明！ 你简直就是个天才，看看爱因斯坦怎么说的吧

全零肯定不行

• 随机数（比较小的） W = 0.01 * np.random.randn(D,H)， 想想嘛，数值太小，梯度又穿不透很深的网络，还有有一定问题滴,随着输入数据量的增长，随机初始化的神经元的输出数据的分布中的方差也在增大

• 1/sqrt(n)校准方差 ：w = np.random.randn(n) / sqrt(n), n是输入数据的数量,

• 稀疏初始化，权重矩阵设为零，神经元随机链接，不好不好。

• 偏置初始化，一般是零， 至于其他的你可以多尝试呗。

3.批归一化

批量归一化：在网络的每一层之前都做预处理，只不过是以另一种方式与网络集成在了一起

4. 正则化

上节内容已经说过了，就是用来防止过拟合的常见的有：

• L2正则化：就是二范数，就是$ \frac{1}{2}\lambda w^2$
• L1正则化：就是一范数，其实就是 $ \lambda_1|w|+\lambda_2w^2 $
• 最大范式约束：加一个限制：$||w|{|}_2<c$ 就算学习率很大也不会出现数值爆炸。
• 随机死亡：dropout： 来源于这里

 
 """ Vanilla Dropout: Not recommended implementation (see notes below) """

p = 0.5 # probability of keeping a unit active. higher = less dropout

def train_step(X):
  """ X contains the data """
  
  # forward pass for example 3-layer neural network
  H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1)
  U1 = np.random.rand(*H1.shape) < p # first dropout mask
  H1 *= U1 # drop!
  H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2)
  U2 = np.random.rand(*H2.shape) < p # second dropout mask
  H2 *= U2 # drop!
  out = np.dot(W3, H2) + b3
  
  # backward pass: compute gradients... (not shown)
  # perform parameter update... (not shown)
  
def predict(X):
  # ensembled forward pass
  H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1) * p # NOTE: scale the activations (要乘上p)
  H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2) * p # NOTE: scale the activations
  out = np.dot(W3, H2) + b3
  

实际更多使用反向随机失活（inverted dropout）

""" 
Inverted Dropout: Recommended implementation example.
We drop and scale at train time and don't do anything at test time.
"""

p = 0.5 # probability of keeping a unit active. higher = less dropout

def train_step(X):
  # forward pass for example 3-layer neural network
  H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1)
  U1 = (np.random.rand(*H1.shape) < p) / p # first dropout mask. Notice /p!
  H1 *= U1 # drop!
  H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2)
  U2 = (np.random.rand(*H2.shape) < p) / p # second dropout mask. Notice /p!
  H2 *= U2 # drop!
  out = np.dot(W3, H2) + b3
  
  # backward pass: compute gradients... (not shown)
  # perform parameter update... (not shown)
  
def predict(X):
  # ensembled forward pass
  H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1) # no scaling necessary
  H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2)
  out = np.dot(W3, H2) + b3

3. 损失函数

前面我们已经学过了 SVM and Softmax
$$L_i=\sum _{j\ne y_i}max(0,f_j-f_{y_i}+1)$$
$$L_i=-log(\frac{e^{f_{y_i}}}{{\sum }_j{e}^{f_j}})$$

标签数目很大怎么办？ 使用softmax分层，

回归问题：预测实数的值的问题，预测房价，预测图片东西的长度
对于这种问题，计算预测值和真实值之间的损失就够了。
然后用L2平方范式或L1范式取相似度 $L_i=||f-y_i|{|}_2^2$

4. 总结

直接看目录不就知道了哇，哈哈。
预处理————正则化方法————损失函数

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