单源最短路径的基本算法 -- 算法导论笔记

通用的Bellman-Ford:

        特点：能处理存在负权边的情况，并能判断是否存在负权回路。可以用在差分约束系统问题的求解，有解情况下最短路径是一组可行解。效率低，O（VE）。

        过程：做 顶点数（V） - 1 次对所有边的松弛操作，也可以加一个flag检查到没有需要松弛的时候便结束，快一点。再检查一遍是否有边还能做松弛操作（把松弛操作比较部分反过来做判断条件），若能则说明有负权回路。

            注：负权回路很多时候能代表存在一些不合理的性质（让人可以钻空子的bug），比如交易系统可以交易一圈（即最终交易回初始物品）之后得到多的钱poj1860，不合理的虫洞旅行见到旅行前的自己（在科幻片中类似场景层出不穷）poj3259，这种情况就可以用该算法来检测。也就是说，该算法不仅可以用来求存在负权边的最短路，还可以用来检测是否存在负权回路。

dag（有向无回图）（directed acyclic graphs）：

        特点：对dag图能做，能处理负权边，效率高，O(V+E)。可用于 求PERT图（program evaluation and review technique chart，程序评价和审查技术图）中的关键路径（关键路径指通过dag的一条最长路径），由于PERT图反应工作的依赖关系，必然是dag。

        过程：拓扑排序，按序对边做一次松弛操作。

Dijkstra：

        特点：不能处理负权边，效率较高（效率取决于优先队列的实现方式，二叉堆实现时为O((V+E)lgV)）。

        过程：类似BFS，不过把普通的队列换成了优先队列。

                  

DIJIKSTRA(G,w,s)

//initial
initialize_single_source(G,s)
//bfs
S <- empty //work as color[]
Q <- V[G]
while Q != empty
      do u <- extract_min(Q)
         S <- S + {u}
         for each v from Adj[u]
               do RELAX(u,v,w)