任意两点之间的最短路径问题(Floyd-Warshall算法)

求解所有两点之间的最短路问题叫做任意两点之间的最短路问题。Floyd-Warshall算法考虑的是
 一条最短路径上的中间结点。例如，简单路径p={v1,v2,...vl}上的中间结点指的是路径p上除了v1和 vl之外的任意节点，也就是处于集合{v2,v3,...vl-1}中的节点。
Floyd-Warshall算法基于以下： 
假定图G的所有顶点为V={1,2,3,...,n}，考虑其中的一个子集{1,2,..,k}，这里的K是小于n的整数。
对于任意的节点i,j属于V，从i到j的所有中间结点都取自于集合{1,2,3,...,k}的路径，并设p为其中权重最小的路径，也就是说路径p是简单路径。Floyd-Warshall算法利用了路径p和从i到j之间中间结点
取自集合{1,3,..,k-1}的最短路径之间的关系。该关系依赖于结点k是否是路径p上的一个中间节点。
    （1）如果结点k不是路径p上的中间结点，则路径p上的所有中间结点都属于集合{1,2,...,k-1}.所以，从结点i到结点j的中间结点取自于结合{1,2,...,k}的一条最短路径。
    （2）如果结点k是路径p上的中间结点，则路径p可以分解为i~k,k~j。
通过以上分析，可以得出以下结论：
记i到j的最短路径为d[i][j],那么具有以下递推公式：
d[i][j]= d[i][j]  最短路径不通过k
       = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]) 最短路径通过k可以不断的使用同一个公式进行更新 
       min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]) 
以上算法使用DP策略，可以在O(|V|3)时间里求得所有两个结点之间的最短路径。

int d[MAX_V][MAX_V]; //d[u][v]表示边e=(u,v)的权值（不存在设为INF，d[i][i]=0）
int V; //顶点数目

void floyd_warshall(){
    for(int k=0;k
        for(int i=0;i
            for(int j=0;j
                d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
            } 
        }
    }
}