FOC 算法基础之欧拉公式

FOC中电压矢量合成的推导，对于欧拉公式的几何意义做了一个全面的回顾。

欧拉公式

欧拉是一个天才，欧拉公式甚至被誉为上帝创造的公式，然后在FOC算法中也可以看到欧拉公式的影子，不过因为是最基础的知识，所以基本上的换算都是一笔带过，但是如果这里没有掌握就很难搞清楚实数平面如何换算到复数平面，以至于在SVPWM的求解中存在的都是向量运算，所以这里有必要理解欧拉公式的物理意义，这样可以加深FOC算法的理解。
欧拉公式如下所示；
$$\{\begin{array}{l}{e}^{ix}=cosx+isinx\cdots ①\\ e^{\pi i}+1=0\cdots ②\end{array}$$
这两个公式都被称之为欧拉公式；

$e$ 是自然对数的底，$i$ 是虚数（$i=\sqrt{-1}$）。

根据式 ① 可以推导出以下另外两个变式；
推导过程如下；
令$x=-x$，可以得到④式，如下；
$$\{\begin{array}{l}{e}^{ix}=cosx+isinx\cdots ③\\ e^{-ix}=cosx-isinx\cdots ④\end{array}$$
所以 ③ 等式左右两端与 ④ 式 相加得到；
$$cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\cdots ⑤$$
所以 ③ 等式左右两端与 ④ 式 相减得到；
$$sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\cdots ⑥$$

几何意义

$r{e}^{i\theta }$则表示模长为$r$的向量旋转了角度$\theta$，下面会进一步介绍。

复数平面

复数平面坐标$x$轴作为实数轴，$y$轴作为虚数轴。这里可以通过欧拉公式，将实数平面换到复数平面，如下图所示；

已知这是一个半径为$r$，圆心为$O$的圆，则存在；
$$r{e}^{i\theta }=r(cos\theta +isin\theta )$$
上式表示向量 $OP$ 逆时针旋转了角度 $\theta$ , $|OP|=r$；

动态过程

假设向量$OC$逆时针旋转，与$x$轴夹角为$\theta$，半径$r=10$，即 $|OC|=r=10$，具体如下图所示；

这里分析一下图中的几个关键点；

• 红色点的坐标为：$(\theta ,10sin\theta )$，红色的正弦曲线为红色点的运动轨迹；
• 绿色点的坐标为；$(10cos\theta ,\theta )$，绿色的正弦曲线为绿色点的运动轨迹；
• $CG$为向量$OC$在$x$轴上的投影，$|CG|=10cos\theta$；
• $CH$为向量$OC$在$y$轴上的投影，$|CH|=10sin\theta$；

可以发现，向量在复平面做圆周运动，其实数域相当于是在做正弦运动。后面再FOC中的三相正弦波形的合成可以做一下分析。

加法

欧拉公式里的相加则比较简单，相当于两个向量的相加；
$$AE=AC+AD$$
如下图所示；

所以存在特殊情况当 $\theta =0$时则有；
$$AE=|AE|(e^{j(\theta +\frac{2\pi }{3})}+e^{j(\theta -\frac{2\pi }{3})})$$
直接进行符合向量相加；
$$AE=|AE|e^{j(\theta +\pi )}$$
具体如下所示；

FOC电压矢量的推导

三相永磁同步电机的驱动电路如下图所示；

详细的坐标变换可以参考《FOC中的Clarke变换和Park变换详解》，根据图示电路可以发现在三相永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变输出的三相电压为$U_A$，$U_B$，$U_C$将作用于电机，那么在三相平面静止坐标系ABC中，电压方程满足以下公式：

$$\{\begin{array}{l}{U}_A=U_{m}cos{\theta }_e\\ U_B=U_{m}cos({\theta }_e-\frac{2\pi }{3})\\ U_C=U_{m}cos({\theta }_e+\frac{2\pi }{3})\end{array}$$

$U_m$为相电压基波峰值；

因此根据前面式⑤$$cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\cdots ⑤$$
可以将该方程组转换到复平面可以得到，下式统一使用$\theta$ 表示${\theta }_e$；
$$\{\begin{array}{l}{U}_A=U_{m}cos{\theta }_e=\frac{U_m}{2}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })\\ U_B=U_{m}cos({\theta }_e+\frac{2\pi }{3})=\frac{U_m}{2}(e^{(i\theta -\frac{2\pi }{3})}+e^{-(i\theta -\frac{2\pi }{3})})\\ U_C=U_{m}cos({\theta }_e-\frac{2\pi }{3})=\frac{U_m}{2}(e^{(i\theta +\frac{2\pi }{3})}+e^{-(i\theta +\frac{2\pi }{3})})\end{array}$$
因为需要将三相电压合成矢量 $U=U_A+U_B+U_C$；下面增加向量的相位差；
$$\{\begin{array}{l}{U}_A=U_A\ast e^{j0}\\ U_B=U_B\ast e^{-(j\frac{2\pi }{3})}\\ U_C=U_C\ast e^{(j\frac{2\pi }{3})}\end{array}$$

中间推导过程暂略，最终推导得到；
$$U=\frac{3}{2}{U}_m{e}^{j\theta }=\frac{3}{2}{U}_m{e}^{j\omega t}$$

总结

磕磕绊绊写了最后，基础学科的掌握还不够，很多知识回过头来看，总会有新的收获，但是由于笔者能力有限，文中难免出行错误和纰漏，望您能不吝赐教。

参考

https://www.matongxue.com/madocs/8.html