回溯法求解子集和问题

问题描述

给定n个不同的正整数集合w=（w1，w2，…，wn）和一个正整数W，要求找出w的子集s，使该子集中所有元素的和为W。
例如，当n=4时，w=（11，13，24，7），W=31，则满足要求的子集为（11，13，7）和（24，7）。

问题求解

该问题的解空间树是一棵子集树。
设解向量x=（x1，x2，…，xn），这里是求所有满足目标条件的解，所以一旦搜索到叶子结点（即i>n），如果相应的子集和为W，则输出x解向量。
当搜索到第i（1≤i≤n）的某个结点时，用tw表示选取的整数和，rw表示余下的整数和，即rw=w[i]+…+w[n]（其中包含w[i]），采用的剪枝函数如下：
左剪枝：通过检查当前整数w[i]加入后子集和是否超过W，若是则剪枝，即仅仅扩展满足tw+w[i]≤W的左孩子结点。
右剪枝：如果一个结点满足tw+rw-w[i]

代码

int W;
int n;
int w[MAX];

void dfs(int i, int tw, int rw, int x[])
{
	if (i > n)
	{
		if (tw == W)
			dispasolution(x);
	}
	else
	{
		if (tw + w[i] <= W)//左剪枝
		{
			x[i] = 1;//选择元素
			dfs(i + 1, tw + w[i], rw - w[i], x);
		}
		if (tw + rw - w[i] >= W)//右剪枝
		{
			x[i] = 0;//不选择元素
			dfs(i + 1, tw, rw - w[i], x);
		}
	}
}

算法分析

算法的解空间树中有2ⁿ⁺¹-1个结点，最坏情况下算法的时间复杂度为O(2ⁿ)。

判断子集和问题是否存在解

采用回溯法一般是针对问题存在解时求出相应的一个或多个解，或者最优解。
如果要判断问题是否存在解（一个或者多个），可以将求解函数改为bool类型，当找到任何一个解时返回true，否则返回false。需要注意的是当问题没有解时需要搜索所有解空间。

int n;
int W;
int w[MAX];

bool dfs(int i, int tw, int rw)
{
	if (i > n)
	{
		if (tw == W)
			return true;
	}
	else
	{
		if (tw + w[i] <= W)//左剪枝
			return dfs(i + 1, tw + w[i], rw - w[i]);
		if (tw + rw - w[i] >= W)//右剪枝
			return dfs(i + 1, tw, rw - w[i]);
	}
	return false;
}

另外一种方法是通过解个数来判断，如设置全局变量count表示解个数，初始化为0，调用搜索解的回溯算法，当找到一个解时置count++。
最后判断count>0算法成立，若为真，表示存在解，否则表示不存在解。

int n;
int W;
int w[MAX];
int count = 0;

void dfs(int i, int tw, int rw)
{
	if (i > n)
	{
		if (tw == W)
			count++;
	}
	else
	{
		if (tw + w[i] <= W)//左剪枝
			dfs(i + 1, tw + w[i], rw - w[i]);
		if (tw + rw - w[i] >= W)//右剪枝
			dfs(i + 1, tw, rw - w[i]);
	}
}