机器人学中的状态估计(证明一)

一、证明高斯分布积分为1

在这里插入图片描述
机器人学中的状态估计(证明一)_第1张图片
图1 .一元高斯分布的图像,给出了均值 μ \mu μ和标准差 σ \sigma σ

证明:首先我们考虑下面积分
机器人学中的状态估计(证明一)_第2张图片这个积分可以这样计算:⾸先将它的平⽅写成下⾯的形式(二重积分)
在这里插入图片描述然后使⽤笛卡尔坐标(x, y)到极坐标(r, θ)的坐标变换,即:
在这里插入图片描述雅可比行列式如下:
在这里插入图片描述则二重积分变为:
机器人学中的状态估计(证明一)_第3张图片其中 z = − r 2 2 σ 2 z=-\frac{r^{2}}{2\sigma ^{2}} z=2σ2r2,因此:
在这里插入图片描述
最后,令 y = x − μ y=x-\mu y=xμ ,高斯分布概率密度函数的积分为:
机器人学中的状态估计(证明一)_第4张图片得证!

二、假设 u, v是两个相同维度的列向量,请证明下面这个等式: u T v = t r ( v u T ) u^{T}v=tr(vu^{T}) uTv=tr(vuT)

证明:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述机器人学中的状态估计(证明一)_第5张图片在这里插入图片描述
所以
在这里插入图片描述

三、对于高斯分布的随机变量, x ∼ N ( μ , Σ ) x\sim \mathbb{N}(\mu ,\Sigma ) xN(μ,Σ),请证明下面等式:在这里插入图片描述

证明:期望(一阶矩)的公式推导如下
由题意知x服从高斯分布,所以高斯概率密度函数p(x)= N ( x ∣ μ , σ 2 ) N(x\mid \mu ,\sigma ^{2}) N(xμ,σ2)
则有,
机器人学中的状态估计(证明一)_第6张图片 x − μ x-\mu xμ替换掉,为方便描述下面我用x替换,注意这里替换的 x和前面 x − μ x-\mu xμ中的x不是同一个变量,有
机器人学中的状态估计(证明一)_第7张图片上式中的
在这里插入图片描述为奇函数,即f(-x)=f(x),函数关于原点对称,所以该项积分为0,所以:
机器人学中的状态估计(证明一)_第8张图片
公式得证!

四、对于高斯分布的随机变量, x ∼ N ( μ , Σ ) x\sim \mathbb{N}(\mu ,\Sigma ) xN(μ,Σ),请证明下面等式:在这里插入图片描述

证明:高斯分布方差的公式推导,即证明
在这里插入图片描述
由题意知x服从高斯分布,所以高斯概率密度函数p(x)= N ( x ∣ μ , σ 2 ) N(x\mid \mu ,\sigma ^{2}) N(xμ,σ2)
按照证明期望的讨论同样证明方差,过程如下:
在这里插入图片描述机器人学中的状态估计(证明一)_第9张图片在这里插入图片描述在这里插入图片描述得到:
在这里插入图片描述公式得证!

五、对于K 个相互独⽴的⾼斯概率密度, x ∼ N ( μ K , Σ K ) x\sim N(\mu_{K} ,\Sigma_{K} ) xN(μK,ΣK),请证明它们的归⼀化积仍然是高斯分布:在这里插入图片描述

其中:
在这里插入图片描述 η \eta η是归一化因子。

待证明。。。

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