基于熵权法对TOPSIS模型的修正
IMMC2020：熵权TOPSIS
笔记整理来自清风老师的数学建模课程：TOPSIS教程
目录
1. 熵权法的原理（客观赋权的方法）
2. 如何度量信息量的大小
3. 信息熵的定义
4. 熵权法的计算步骤
4.1 将输入矩阵中的负数变为正数（指标标准化）
4.2 计算概率
4.3 计算信息熵
5. 熵权法背后的原理
6. 熵权法代码实现
7. 熵权TOPSIS代码实现
1. 熵权法的原理（客观赋权的方法）
变异程度相当于方差或者标准差，权重低，表示的信息量比较小。
2. 如何度量信息量的大小
如果把信息量用字母I表示，概率用p表示，那么我们可以将它们建立一个函数关系：
（图1）
可以发现概率越大，信息量越小。这种关系可以用log函数来表示：
（图2）
X为【0,1】之间的数，ln的取e为底，相当于红框中的部分取个负号（y由负数变为正数）就得到了图1中的函数图像。
常量e约2.718282 对数函数介绍（视频）
因此可以得到：信息量与概率的函数关系式
3. 信息熵的定义
信息熵=概率与信息量乘积之和。
期望值的含义
n:事件发生的情况的总数
熵越大，信息量是越大还是越小呢？
4. 熵权法的计算步骤
4.1 将输入矩阵中的负数变为正数（指标标准化）
判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间 （后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）
一般用下面这种标准化的方法：
4.2 计算概率
计算第j项指标下第i个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。
概率计算有点像指标归一化。将每一个数除以这一列数之和。
4.3 计算信息熵
计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权
对于第j个指标而言，其信息熵计算公式为：
相当于前面计算信息熵的公式除以了lnn
（1）为什么这里要除以lnn这个常数
（2）为什么要将信息熵归一到[0,1]上面
其实是为了计算信息效用值
（3）熵权的计算
（4）一个指标的信息熵ej越大 ，那么这个指标代表的信息越少？为什么？
所以这里引出了信息效用值，表示dj越大，表示的信息越多。
5. 熵权法背后的原理
6. 熵权法代码实现
由于MATLAB中，ln（0）的结果返回不是0，所以需要重新定义一个log函数，说明一下这种特殊情况，使得ln（0）的返回结果为0
% 重新定义一个mylog函数，当输入的p中元素为0时，返回0
function [lnp] = mylog(p)%lnp为输出变量，p为输入变量
n = length(p); % 向量的长度
lnp = zeros(n,1); % 初始化最后的结果
for i = 1:n % 开始循环
if p(i) == 0 % 如果第i个元素为0
lnp(i) = 0; % 那么返回的第i个结果也为0
else
lnp(i) = log(p(i));
end
end
end熵权法的代码：
function [W] = Entropy_Method(Z)
% 计算有n个样本，m个指标的样本所对应的的熵权
% 输入
% Z ： n*m的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数）
% 输出
% W：熵权，m*1的行向量
%% 计算熵权
[n,m] = size(Z);
D = zeros(1,m); % 初始化保存信息效用值的行向量
for i = 1:m
x = Z(:,i); % 取出第i列的指标
p = x / sum(x);
% 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数
e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
D(i) = 1- e; % 计算信息效用值
end
W = D ./ sum(D); % 将信息效用值归一化，得到权重
end7. 熵权TOPSIS代码实现
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)TOPSIS代码实现（不加权重）