2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十三次作业

信号与系统课程第十三次作业参考答案

 

 

※ 第一题

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如下图所示的反馈系统，回答以下各列问题：
（1）写出系统的传递函数：$$H\left(s\right)=\frac{V_2\left(s\right)}{V_1\left(s\right)}$$
（2） K满足什么条件时系统稳定？
（3）在临界稳定条件下，系统的冲激响应$h\left(t\right)$。

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■ 求解：

（1）求解：
$$\frac{Ks}{s^2+4s+4}\left[V_1\left(s\right)+V_2\left(s\right)\right]=V_2\left(s\right)$$$$H\left(s\right)=\frac{V_2\left(s\right)}{V_1\left(s\right)}=\frac{Ks}{s^2+\left(4-K\right)s+4}$$

（2）求解：
$$p_{1,2}=\frac{\left(K-4\right)\pm j\sqrt{16-{\left(4-K\right)}^2}}{2}$$$$\frac{K-4}{2}<0\Rightarrow K<4$$

（3）求解：

$$K=4,H\left(s\right)=\frac{4s}{s^2+4}$$$$h\left(t\right)=4\cos \left(2t\right)\cdot u\left(t\right)$$

^{▲ 使用MATLAB中的SIMULINK可以来仿真在上述各个K值参数下系统的单位阶跃响应：}

 

※ 第二题

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如下图所示的反馈系统，回答以下各列问题：
（1）写出系统传递函数：$$H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}$$
（2）K满足什么条件的时候系统稳定？

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■ 求解：

（1）解答：
$$y\left[n\right]=y\left[n-1\right]+4y\left[n-2\right]-k\cdot y\left[n-1\right]+x\left[n\right]$$$$Y\left(z\right)=\left(1-k\right)z^{-1}Y\left(z\right)+4z^{-2}Y\left(z\right)+X\left(z\right)$$$$H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{z^2}{z^2+\left(K-1\right)z-4}$$

（2）解答：
$$\Delta ={\left(K-1\right)}^2+16>0,z_1{z}_2=-4$$

根据$z_1,z_2$的乘积等于-4，说明在任何时候，两者中至少有一个绝对值大于1，所以系统总是不能够稳定的。

 

※ 第三题

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离散时间系统如下图所示：
（1） 求该系统的传递函数$H\left(z\right)$；
（2） 设系统的机理为：$$x\left[n\right]=\left[{\left(-1\right)}^n+{\left(-2\right)}^n\right]\cdot u\left[n\right]$$
用z变换求该系统的零状态响应；
（3） 已知$$x\left[n\right]=\delta \left[n\right],y\left[0\right]=1,y\left[-1\right]=-1$$
利用z变换求该系统的零输入响应。

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■ 求解：

（1）解答：
通过设立中间变量$w\left[n\right]$建立两个方程：

系统的传递函数为：
$$\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{4+5z^{-1}}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}=\frac{4z^2+5z}{z^2-3z+2}$$

（2）解答：
系统输入信号的z变换：
$$X\left(z\right)=\frac{z}{z+1}+\frac{z}{z+2}$$

$$Y\left(z\right)=H\left(z\right)\cdot X\left(z\right)=\frac{4z^2+5z}{z^2-3z+2}\cdot \left(\frac{z}{z+1}+\frac{z}{z+2}\right)$$$$=\frac{8z^4+22z^3+15z^2}{z^4-5z^2+4}=\frac{z^2\left(2z+3\right)\left(4z+5\right)}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)\left(z+2\right)\left(z+1\right)}$$

$$=\frac{-\frac{15}{2}z}{z-1}+\frac{15\frac{1}{6}z}{z-2}+\frac{\frac{1}{2}z}{z+2}+\frac{-\frac{1}{6}z}{z+1}$$

>>iztrans(ans)'
ans=(-2)^n/2 -(-1)^n/6 +(91*2^n)/6 -15/2

系统的零状态响应为：
$$y\left[n\right]=-\frac{15}{2}+\frac{1}{2}{\left(-2\right)}^n-\frac{1}{6}{\left(-1\right)}^n+\frac{91}{6}\cdot 2^n,n\ge 0$$

（3）解答：

根据系统的传递函数可以化简为：$$Y\left(z\right)=\frac{4+5z^{-1}}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$$

它对应的系统差分方程为：$$y\left[n\right]-3y\left[n-1\right]+2y\left[n-2\right]=4x\left[n\right]+5x\left[n-1\right]$$
写出对应的后向迭代方程：
$$2y\left[n-2\right]=4x\left[n\right]+5x\left[n-1\right]-y\left[n\right]+3y\left[n-1\right]$$

根据已知条件，可以求出：$$2y\left[-2\right]=4x\left[0\right]+5x\left[-1\right]-y\left[0\right]+3y\left[-1\right]$$

$$y\left[-2\right]=\frac{4x\left[0\right]+5x\left[-1\right]-y\left[0\right]+3y\left[-1\right]}{2}=\frac{4+5\cdot 0-1+3\cdot \left(-1\right)}{2}=0$$

$$Y\left(z\right)-3\left\{z^{-1}Y\left(z\right)+y\left[-1\right]\right\}+2\left\{z^{-2}Y\left(z\right)+y\left[-2\right]+z^{-1}y\left[-1\right]\right\}=4X\left(z\right)+5\left\{z^{-1}X\left(z\right)-x\left[-1\right]\right\}$$$$\left(1-3z^{-1}+2z^{-2}\right)Y\left(z\right)-3y\left[-1\right]+2y\left[-2\right]+2z^{-1}y\left[-1\right]=\left(4+5z^{-1}\right)X\left(z\right)-5x\left[-1\right]$$$$Y\left(z\right)=\frac{\left(4+5z^{-1}\right)X\left(z\right)-5x\left[-1\right]+\left(3-2z^{-1}\right)y\left[-1\right]+2y\left[-2\right]}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$$

系统的零输入响应：
$$Y_{zi}\left(z\right)=\frac{\left(3-2z^{-1}\right)\left(-1\right)}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}=\frac{z\left(3z-2\right)}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}=\frac{-z}{z-1}+\frac{4z}{z-2}$$

系统的零状态响应：
$$Y_{zs}\left(z\right)=\frac{\left(4+5z^{-1}\right)\cdot X\left(z\right)}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$$

对$Y_{zi}\left(z\right)$进行z反变换，可以得到系统的零输入响应：$$y_{zi}\left[n\right]=-1+4\cdot 2^n,n\ge 0$$

 

※ 第四题

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已知离散时间因果系统的差分方程为：
（1）$$y\left[n\right]=0.14x\left[n\right]+0.14x\left[n-1\right]+1.02y\left[n-1\right]$$
（2） $$y\left[n\right]=0.5x\left[n\right]-0.3x\left[n-2\right]-2y\left[n-1\right]-y\left[n-2\right]$$
通过传递函数的几点位置判断系统的稳定性。

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■ 求解：

（1）求解：
$$y\left[n\right]=0.14x\left[n\right]+0.14x\left[n-1\right]+1.02y\left[n-1\right]$$

系统的传递函数为：$$Y\left(z\right)=\frac{0.14+0.14z^{-1}}{1-1.02z^{-1}}=\frac{0.14\left(z+1\right)}{z-1.02}$$

它具有一个单重实根：$$p_1=1.02>1$$

所以系统 不稳定 。

>>iztrans(0.14*(z+1)/(z-1.02))'
ans=(707*(51/50)^n)/2550 -(7*kroneckerDelta(n,0))/51

$$y\left[n\right]=\frac{707{\left(\frac{51}{50}\right)}^n}{2550}-\frac{7\delta \left[n\right]}{51}$$

^{▲ 系统仿真结果输出}

（2）求解：
$$y\left[n\right]=0.5x\left[n\right]-0.3x\left[n-2\right]-2y\left[n-1\right]-y\left[n-2\right]$$

系统的传递函数为：$$Y\left(z\right)=\frac{0.5-0.3z^{-2}}{1+2z^{-1}+z^{-2}}=\frac{z\left(0.5z-0.3\right)}{{\left(z+1\right)}^2}$$

具有双重实根：$p_{1,2}=-1$，所以系统 不稳定 。

>>iztrans(z*(0.5*z-0.3)/(z+1)^2)'
ans=(13*(-1)^n)/10 +(4*(-1)^n*(n-1))/5

$$y[n]=1.3{\left(-1\right)}^n+0.8{\left(-1\right)}^n\cdot \left(n-1\right),n\ge 0$$

^{▲ MATLAB仿真输出结果}

 

※ 第五题

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对于线性时不变系统施加激励信号：$$x\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)$$
系统的零状态输出为：$$y\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}{e}^{-t}-e^{-2t}+2e^{3t}\right)u\left(t\right)$$
求该系统的系统函数$H\left(s\right)$，单位脉冲响应$h\left(t\right)$。

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■ 求解：

将系统的零状态输入输出信号进行Laplace变换：

系统函数为：
$$H\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}=\frac{\frac{1}{2\left(s+1\right)}-\frac{1}{s+2}+\frac{2}{s-3}}{\frac{1}{s+1}}$$$$=\frac{1}{2}-\frac{s+1}{s+2}+\frac{2\left(s+1\right)}{s-3}$$$$=\frac{3}{2}+\frac{1}{s+2}+\frac{8}{s-3}$$

将系统函数进行Laplace反变换，得到系统的单位脉冲响应$h\left(t\right)$：$$h\left(t\right)=\frac{3}{2}\delta \left(t\right)+e^{-2t}+8e^{3t},t\ge 0$$

 

※ 第六题

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已知电路如下面左图所示，传递函数的零极点如下面右图所示，且$H\left(0\right)=1$。
求：R，L，C的值。

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■ 求解：

将电路换成s域元器件模型：

$$H\left(s\right)=\frac{U_2\left(s\right)}{U_1\left(s\right)}=\frac{\frac{R}{sRC+1}}{sL+\frac{R}{sRC+1}}=\frac{R}{RLC{s}^2+sL+R}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}}$$

根据系统零极点的分布$p_{1,2}=-1\pm j$，可以知道系统的传递函数为：$$H\left(s\right)=\frac{K}{\left(s+1-j\right)\left(s+1+j\right)}=\frac{K}{s^2+2s+2}$$

根据$H\left(0\right)$的取值，可以求出K值：$$H\left(0\right)=\frac{K}{2}=1,K=2$$

所以系统函数为：
$$H\left(s\right)=\frac{2}{s^2+2s+2}$$
对比电路传递函数，可得：
$$\frac{1}{LC}=2,\frac{1}{RC}=2,\frac{1}{LC}=2$$$$L=R,C=\frac{1}{2R}$$

由于只能有两个独立的方程，所以只能假设气氛中一个元器件的取值。在这里假设电阻$R=1\Omega$，那么其他两个元器件的取值便可以计算出来：$$L=R=1H,C=1/2R=0.5F$$

 

※ 第七题

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下列z变换中，哪些是对应的因果系统的传统函数？
（1） $$\frac{{\left(1-z^{-1}\right)}^2}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}$$
（2） $$\frac{{\left(z-1\right)}^2}{z-\frac{1}{2}}$$
（3）
$$\frac{{\left(z-\frac{1}{6}\right)}^7}{{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^6}$$

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■ 求解：

（1）求解： 分子的多项式的阶次等于分母的多项式的阶次，分式展开后不存在z的正幂次项，收敛域包括有∞,系统为因果系统。

（2）求解： 分子的多项式的阶次高于分母的多项式的阶次，分式展开后存在z的正幂次项，收敛域不包括有∞,系统为 非因果系统 。

（3）求解： 分子的多项式的阶次高于分母的多项式的阶次，分式展开后存在z的正幂次项，收敛域不包括有∞,系统为 非因果系统 。

 

※ 第八题

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因果、稳定、LTI系统的传递函数为$H\left(s\right)$。该系统的输入为：$$x\left(t\right)=\delta \left(t\right)+e^{s_{0}t}+x_1\left(t\right)$$
其中$x_1\left(t\right)$未知，$s_0$是复数常数。
由$x\left(t\right)$产生的输出信号为：$$y\left(t\right)=\delta \left(t\right)-6e^{-t}u\left(t\right)-\frac{1}{2}{e}^{4t}\cos 3t-\frac{3}{2}{e}^{4t}\sin 3t$$
求符合上述条件的的传递函数$H\left(s\right)$。

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■ 求解：

将$y\left(t\right)$进行Laplace变换：
$$Y\left(s\right)=1-\frac{6}{s+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{s+5}{s^2-8s+25}$$$$=1-\frac{6}{s+1}+\frac{1}{4}\left(\frac{1-3j}{s-4-3j}+\frac{1+3j}{s-4+3j}\right)$$

$$=\frac{s^3-13.5s^2+62s-127.5}{s^3-7s^2+17s+25}$$

$$=\frac{s-7.5}{s+1}\cdot \frac{s^2-6s+17}{s^2-8s+25}$$

>>laplace(dirac(t)-6*exp(-t)-(exp(4*t)*(cos(3*t)+3*sin(3*t)))/2)'
ans=1 -6/(s+1)-9/(2*((s-4)^2 +9))-(s-4)/(2*((s-4)^2 +9)
>>partfrac((m+5)/(2*m^2-16*m+50),m,'FactorMode','full')'
ans=(1/4 -3i/4)/(m-4 -3i)+(1/4 +3i/4)/(m-4 +3i)

由于$x\left(t\right)$是实数函数，所以$x_1\left(t\right)$应该包含$e^{s_{0}t}$的共轭函数$e^{s_0^{\ast }t}$，所以：$$X\left(s\right)=1+\frac{1}{s-s_0}+\frac{1}{s-s_0^{\ast }}$$

对比LTI输出信号中的表达式，可以知道：$s_0=4+3j$。$$X\left(s\right)=1+\frac{2s-8}{s^2-8s+25}=\frac{s^2-6s+17}{s^2-8s+25}$$
由于$Y\left(s\right)=X\left(s\right)\cdot H\left(s\right)$，所以：$$H\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}=\frac{s-7.5}{s+1}$$

 

※ 第九题

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因果、稳定、LTI系统的单位脉冲响应和有理系统函数分别是$h\left(t\right)$与$H\left(s\right)$。已知系统的输入为单位阶跃函数$u\left(t\right)$时，系统输出为绝对可和。当输入为$t\cdot u\left(t\right)$时，系统输出不是绝对可和。此外：
$$\frac{d^{2}h\left(t\right)}{d{t}^2}+2\frac{dh\left(t\right)}{dt}+2h\left(t\right)$$
是有限长信号。$H\left(1\right)=0.2,H\left(s\right)$在无穷远点只有一个零点。

求系统的传递函数$H\left(s\right)$，给出收敛域。试讨论各个已知条件的作用。

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■ 求解：

1. 根据系统是因果、稳定、LTI系统可知， 系统的有理系统函数的极点都位于s平面 左半平面。

2. 根据系统在u(t)的作用下，系统的输出为 绝对可和，表明：$\frac{1}{s}H\left(s\right)$收敛域包含虚轴，即$\frac{1}{s}H\left(s\right)$没有$s=0$处的极点，因此$H\left(s\right)$至少包含一个$s=0$的零点。

3. 根据系统在$t\cdot u\left(t\right)$作用下，系统输出不是绝对可积，因此$H\left(s\right)$在$s=0$处的零点不超过两阶；系统函数可以写成：$$H\left(s\right)=\frac{s\cdot A\left(s\right)}{B\left(s\right)}$$

4. 根据$\frac{d^{2}h\left(t\right)}{d{t}^2}+2\frac{dh\left(t\right)}{dt}+2$为有限长，即$\left(s^2+2s+2\right)H\left(s\right)$不再包含任何极点，所以：$B\left(s\right)=s^2+2s+2$。

5. 根据$H\left(s\right)$在无穷远点只有一个一节零点，说明$H\left(s\right)$的分子比分母的阶次小1。所以系统函数可以写成：$$H\left(s\right)=\frac{s\cdot A}{s^2+2s+2}$$

6. 再由$H\left(1\right)=0.2$，可以求得$A=1$。最终，有理系统函数为：$$H\left(s\right)=\frac{s}{s^2+2s+2}$$

 

※ 第十题

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用几何确定法粗略画出下列系统的幅频特性：
（1） $$H_1\left(s\right)=\frac{1}{\left(s+2\right)\left(s+3\right)},\mathrm{Re}\left[s\right]>-2$$
（2） $$H_2\left(s\right)=\frac{s^2}{s^2+2s+1},\mathrm{Re}\left[s\right]>-1$$
（3） $$H_3\left(s\right)=\frac{s^2-s+1}{s^2+s+1},\mathrm{Re}\left[s\right]>-\frac{1}{2}$$

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■ 求解：

（1）求解：
$$H_1\left(s\right)=\frac{1}{\left(s+2\right)\left(s+3\right)},\mathrm{Re}\left[s\right]>-2$$

bode(tf(zpk([],[-2,-3],1)))'

（2）求解：

$$H_2\left(s\right)=\frac{s^2}{s^2+2s+1},\mathrm{Re}\left[s\right]>-1$$

bode(tf(zpk([0,0],[-1,-1],1)))'

（3）求解：

$$H_3\left(s\right)=\frac{s^2-s+1}{s^2+s+1},\mathrm{Re}\left[s\right]>-\frac{1}{2}$$

bode(tf([1,-1,1],[1,1,1]))'

 

※ 第十一题

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已知以下系统，用几何作图法粗略会出它们的幅频和相频特性。
（1）$$H\left(z\right)=\frac{2z}{z-0.6}$$
（2） $$H\left(z\right)=\frac{{\left(0.96+z^{-1}\right)}^2}{0.36z^{-2}+1}$$

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■ 求解：

（1）求解：

（2）求解：