动态规划之最长公共子序列问题（LCS）

问题描述

输入：
X={x1,x2,……,xm}
Y={y1,y2,……,ym}

输出：
Z=X和Y的最长公共子序列

说明：
如果： X={A,B,C},Y={A,C,D} ,则X和Y的最长公共子序列 Z={A,C}

结构分析

我们将一个序列如 X 的前 i 个元素定义： Xi ，则有 Xi={x1,x2,……,xi}

我们将 XY 的最长公共子序列记为 LCSXY
我们将 X 的前 i 个和 Y 的前 j 个元素的最长公共子序列记为 LCSXiYj

我们看一下如下的关系：

我们假设 LCSXmYn=Z={z1,……,zk}

我们就可以知道 LCSXm−1Yn−1 和 LCSXmYn 之间的关系为：

（1）当 Xm=Yn 时：

LCSXmYn=LCSXm−1Yn−1+<xm=yn>

（2）当 Xm≠Yn⋀zk≠xm 时：

LCSXmYn=LCSXm−1Yn

（3）当 Xm≠Yn⋀zk≠yn 时：

LCSXmYn=LCSXmYn−1

建立递推方程

我们定 c[i][j] 等于 LCSXiYj 里面元素的个数

我们有以下的递推方程：

（1）当 i=0⋁j=0 时：

c[i][j]=0

（2）当 i>0⋀j>0⋀xi=yj 时：

c[i][j]=c[i−1][j−1]+1

（2）当 i>0⋀j>0⋀xi≠yj 时：

c[i][j]=MAX{c[i−1][j],c[i][j−1]}

自底向上计算LCS

我们现在有一个二维表，抽取其中的 c[i−1][j−1],c[i−1][j],c[i][j−1],c[i][j] 来进行分析，如下图

我们在知道 c[i][j] 的旁边的 c[i−1][j−1],c[i−1][j],c[i][j−1] 这三个数的值之后就可以得到 c[i][j] 的值！

我们取一个 X 和 Y 里面元素个数都是4的实例进行分析：

画出如图的二维表，我们目的是求出最右下角的 c[4][4] ：

根据上面的递推方程（1）我们得到如下的数组的值都为 0 ：

接下来我们就可以由以上已知的部分依次得到最长公共序列的个数！
比如： c[1][1] 可以根据左上半部 c[0][0],c[0][1],c[1][0] 得到！

现在我们根据上面的方法可以得到相应最长公共子序列的个数了，那么怎样得到这个最长公共子序列呢？
我们只需要从这个二维表的最右下角向左上角回溯即可！详细看代码：

    int num=0;
    int i=xLen;
    int j=yLen;
    //回溯获得最长子序列
    while(i!=0&&j!=0){
        if(c[i][j]!=c[i-1][j]){
            z[++num]=x[i];
            j--;
            i--;
            while(c[i][j]==c[i][j-1]) j--;
        }else{
            i--;
        }
    } 

编程实现

如果觉得上面说的太过于啰嗦，或者我表述的并不是很清晰，那么我们就直接看代码吧！

#include
#include
#define MAX_LEN 100

using namespace std;

/**
 * @author zjq~
 * @time 2017/07/08
 * @func 动态规划求解最长公共子序列问题
 */

char x[MAX_LEN];        //两个子序列
char y[MAX_LEN];

int xLen=0;         //两个子序列的长度
int yLen=0;

char z[MAX_LEN];        //保存最长公共子序列
int c[MAX_LEN][MAX_LEN];    //记录LCS[i][j] 的个数

void getLCS() {

    //构造二维表 
    for(int i=0; i<=xLen; i++) {
        for(int j=0; j<=yLen; j++) {
            if(i==0||j==0) {
                c[i][j]=0;
            } else if(i>0&&&j>0&&x[i]==y[j]) {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            } else {
                c[i][j]=c[i-1][j]>c[i][j-1]?c[i-1][j]:c[i][j-1];
            }
        }
    }
    int num=0;
    int i=xLen;
    int j=yLen;
    //回溯获得最长子序列
    while(i!=0&&j!=0){
        if(c[i][j]!=c[i-1][j]){
            z[++num]=x[i];
            j--;
            i--;
            while(c[i][j]==c[i][j-1]) j--;
        }else{
            i--;
        }
    } 
}

int main() {
    cin>>xLen;                  //下标从 i=1 开始
    for(int i=1; i<=xLen; i++) {
        cin>>x[i];
    }
    cin>>yLen;
    for(int i=1; i<=yLen; i++) {
        cin>>y[i];
    }
    getLCS();               //获得最长公共子序列

    cout<<"最长公共子序列包含元素个数为："<cout<<"最长公共子序列为：";
    for(int i=c[xLen][yLen];i>0;i--){
        cout<" ";
    }
    cout<

运行结果截图：

最后

去九度OJ提交一下看看你的代码是否正确吧！
http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1042
注意一下两点：
使用gets加上头文件#include
OJ上面的题目需要测试多组数据，注意使用while(gets(x)){}