主席树学名可持久化线段树，就是这个可持久化，衍生了多少数据结构
为什么会有主席树这个数据结构呢？它被发明是用来解决什么问题的呢？
给定n个数，m个操作，操作类型有在某个历史版本下单点修改，输出某个历史版本下某个位置的值的值，n和m小于等于1e6
乍一看是不是一点头绪也没有。我们先来想想暴力怎么做，暴力存储第i个状态下每个数的值，显然这样做不是TLE就是MLE，我们不妨管这种状态叫做TM双LE。
如果没有这个历史状态显然处理很简单，一个线段树就解决了。那么加上历史状态呢？如果我们优化一下暴力，我们会发现我们可以建若干棵树，一棵树存储一个状态下的所有信息。
显然这种处理方式还不如刚才呢，状态的转移依然很慢，MLE也更加严重了，所以我们还是TM双LE。怎么办呢？我们要想办法加快转移，同时优化空间，两者要同时做到似乎有点难，这个时候就要用到主席树了。
主席树是怎么维持可持久化的呢？跟上面说的一样建若干棵树，第i棵树表示第i次操作后的状态。我们会发现，在每次修改时，两个子节点中只有一个会被修改，也就是说一次修改只会有logn个节点被修改，那么显然所有节点都新建备份是又慢又浪费的。我们可以让修改后的树跟修改前的树共享节点，大大节省了时间和空间，这道题就做完了。
这是题面
那么直接上代码吧
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define gc getchar
#define maxn 1000005
using namespace std;
inline ll read(){
ll a=0;int f=0;char p=gc();
while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
return f?-a:a;
}int n,m,a[maxn];
struct ahaha{
int v,ch[2];
}t[maxn*20];int cnt,num,rt[maxn];
#define lc t[i].ch[0]
#define rc t[i].ch[1]
#define Lc t[j].ch[0]
#define Rc t[j].ch[1]
void build(int &i,int l,int r){
i=++num;
if(l==r){t[i].v=a[l];return;}
int m=l+r>>1;
build(lc,l,m);build(rc,m+1,r);
}
void update(int &i,int j,int l,int r,int k,int z){
i=++num;lc=Lc;rc=Rc; //共用一个子节点节省空间，加快速度
if(l==r){t[i].v=z;return;}
int m=l+r>>1;
if(k<=m)update(lc,Lc,l,m,k,z);
else update(rc,Rc,m+1,r,k,z);
}
int query(int i,int l,int r,int k){
if(l==r)return t[i].v;
int m=l+r>>1;
if(k<=m)return query(lc,l,m,k);
return query(rc,m+1,r,k);
}
inline void solve_1(int k){
int x=read(),z=read();
update(rt[++cnt],rt[k],1,n,x,z);
}
inline void solve_2(int k){
int x=read();rt[++cnt]=rt[k];
printf("%d\n",query(rt[cnt],1,n,x));
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
a[i]=read();
build(rt[0],1,n); //先把第0版本的树建出来
while(m--){
int k=read(),zz=read();
switch(zz){
case 1:solve_1(k);break;
case 2:solve_2(k);break;
}
}
return 0;
}
提到主席树，想必各位最先想到的还是区间第k大
区间第k大是怎么利用可持久化的呢？
首先说一下什么是权值线段树。平常的线段树下标是表示第几个数，权值线段树的下标是代表数字的值，那么节点的权值就是代表数字出现的次数。
那么维护区间第k大就需要建n棵权值线段树，第i棵树维护的是区间\([1，i]\)中每个数出现的次数
很显然用刚才的方法维护就ok了
上代码
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define gc getchar
#define maxn 200005
using namespace std;
inline ll read(){
ll a=0;int f=0;char p=gc();
while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
return f?-a:a;
}int n,m,cnt,a[maxn],b[maxn];
struct ahaha{
int v,ch[2];
}t[maxn*20];int num,rt[maxn];
#define lc t[i].ch[0]
#define rc t[i].ch[1]
#define Lc t[j].ch[0]
#define Rc t[j].ch[1]
void update(int &i,int j,int l,int r,int k){
i=++num;t[i]=t[j];++t[i].v;
if(l==r)return;
int m=l+r>>1;
if(k<=m)update(lc,Lc,l,m,k);
else update(rc,Rc,m+1,r,k);
}
int query(int i,int j,int l,int r,int k){
if(l==r)return l;
int m=l+r>>1,v=t[Lc].v-t[lc].v;
if(k<=v)return query(lc,Lc,l,m,k);
return query(rc,Rc,m+1,r,k-v);
}
inline void solve(){
int x=read(),y=read(),k=read();
printf("%d\n",b[query(rt[x-1],rt[y],1,cnt,k)]); //别忘了要求输出的是原数，别把离散化后的值输出了
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;++i) //先要离散化，否则没法存
a[i]=b[i]=read();
sort(b+1,b+n+1);cnt=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
for(int i=1;i<=n;++i) //建n棵权值线段树
update(rt[i],rt[i-1],1,cnt,lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i])-b);
while(m--)
solve();
return 0;
}
这就是主席树，是不是很简单。
有人也许会问，知道单点修改的主席树怎么写了，区间修改的怎么写呢？
它的本质是一样的，只需要把修改的值做一个永久标记在它的祖先们身上，然后求交就可以了
题单
KUR-Couriers
Count on a tree(树上第k大)
可持久化并查集
粟粟的书架
混合果汁
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