小顶堆的插入删除操作

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

 //  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
 void MinHeapFixup(int a[], int i)
 {
     int j, temp;

     temp = a[i];
     j = (i - 1) / 2;      //父结点
     while (j >= 0 && i != 0)
     {
         if (a[j] <= temp)
             break;

         a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
         i = j;
         j = (i - 1) / 2;
     }
     a[i] = temp;
 }

 //在最小堆中加入新的数据nNum
 void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
 {
     a[n] = nNum;
     MinHeapFixup(a, n);
 }

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

 //  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
 void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
 {
     int j, temp;

     temp = a[i];
     j = 2 * i + 1;
     while (j < n)
     {
         if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
             j++;

         if (a[j] >= temp)
             break;

         a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
         i = j;
         j = 2 * i + 1;
     }
     a[i] = temp;
 }
 //在最小堆中删除数
 void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
 {
     Swap(a[0], a[n - 1]);
     MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
 }

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

写出堆化数组的代码：

 //建立最小堆
 void MakeMinHeap(int a[], int n)
 {
     for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
         MinHeapFixdown(a, i, n);
 }