「洛谷P1337」 [JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX【模拟退火】

[JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX

题目描述

如图：有$n$个重物，每个重物系在一条足够长的绳子上。每条绳子自上而下穿过桌面上的洞，然后系在一起。图中$X$处就是公共的绳结。假设绳子是完全弹性的（不会造成能量损失），桌子足够高（因而重物不会垂到地上），且忽略所有的摩擦。

问绳结$X$最终平衡于何处。

注意：桌面上的洞都比绳结$X$小得多，所以即使某个重物特别重，绳结$X$也不可能穿过桌面上的洞掉下来，最多是卡在某个洞口处。

输入格式
文件的第一行为一个正整数$n（1\le n\le 1000）$，表示重物和洞的数目。接下来的$n$行，每行是$3$个整数：$X_i.Y_i.W_i，$分别表示第$i$个洞的坐标以及第 $i$个重物的重量。$(-10000\le x,y\le 10000,0<w\le 1000)$

输出格式

你的程序必须输出两个浮点数（保留小数点后三位），分别表示处于最终平衡状态时绳结X的横坐标和纵坐标。两个数以一个空格隔开。

输入输出样例

输入 #1

3
0 0 1
0 2 1
1 1 1

输出 #1

0.577 1.000

题意

• 就是上面那个图片$233$，求平衡时那个结点的位置坐标

题解

• 模拟退火（但是正解好像是二分
• 借这个题目简单做一下模拟退火的学习笔记

模拟退火

模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。模拟退火是由S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明的。V.Černý在1985年也独立发明此演算法。模拟退火算法是解决TSP问题的有效方法之一。
模拟退火的出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法是一种通用的优化算法，其物理退火过程由加温过程、等温过程、冷却过程这三部分组成。 ---------------------- 百度百科

• 过程

  个人理解就是一种将物理上的规律运用到统计学当中的一种启发式暴力搜索算法，每次随机出下一个点，通过计算如果这个点比当前最优解更优，则直接将答案点换成该点，否则以一定的概率去接受这个点，那么这个概率与什么有关呢？我们定义：如果当前状态的能量与最优状态的能量的差值为$\Delta E$,当前温度为$T$，那么：
  $$P(\Delta E)=e^{\frac{\Delta E}{k\times T}}$$
  其中$k$为 $Boltzmann$ 常数.

代码

#include
using namespace std;
const int maxn=1e4+10;
double x[maxn],y[maxn],w[maxn];
int n;

namespace simulated_annealing {
	double ansx,ansy; //全局最优解的坐标
	double ans;       // 全局最优解，温度
	const double delta=0.996; //降温系数
	inline double dis(double a,double b,double c,double d) {
		return sqrt((a-c)*(a-c)+(b-d)*(b-d));
	}
	inline double calc_energy(double a,double b) {  //计算决策点在(a,b)处时的能量
		double res=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) res+=dis(a,b,x[i],y[i])*w[i];
		return res;
	}	
	inline void init() {     //初始化
		ansx=ansy=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) ansx+=x[i],ansy+=y[i];
		ansx/=n,ansy/=n;
		ans=calc_energy(ansx,ansy);
	}
	inline void simulate() {
		double nowx=ansx,nowy=ansy; //当前搜索到的点
		double t=3000;
		while(t>1e-14) {
			double nxtx=nowx+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
			double nxty=nowy+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
			double nxt_energy=calc_energy(nxtx,nxty);
			double delta_energy=nxt_energy-ans;        //能量差
			if(delta_energy<0) nowx=ansx=nxtx,nowy=ansy=nxty,ans=nxt_energy;      //能量降低一定接受新点
			else if(exp(-delta_energy/t)*RAND_MAX>rand()) nowx=nxtx,nowy=nxty;   //以一定的概率接受这个点
			t*=delta;       //降温
		}
	}
	inline void solve() {
		init();
		simulate();      //多做几次
		simulate();
		simulate();
		simulate();
		simulate();
		simulate();
		simulate();
		simulate();
		simulate();
	}
}
using namespace simulated_annealing;
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf %lf %lf",&x[i],&y[i],&w[i]);
	solve();
	printf("%.3lf %.3lf\n",ansx,ansy);
}