入门机器学习(三)--课后作业解析-线性回归(Python实现)

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1. 单变量线性回归

    在本练习的这一部分中, 您将使用一个变量实现线性回归, 以预测食品卡车的道具。假设你是一个餐厅的CEO, 并正在考虑开放一个在不同城市的新的网点。该连锁企业已经在各个城市拥有卡车, 你有来自城市的道具和人口的数据（ex1data1.txt）。你需要使用这些数据来帮助你选择哪座城市去扩展。这个文件包含了线性回归问题的数据集。第一列是一个城市的人口，第二列该城市的食品卡车的利润。负值代表负利润，正直代表正利润。下面是相关的Python代码

导入需要使用的包

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

导入数据集。提醒大家：一定要把数据文件ex1data1.txt放在和程序同一个文件夹里，否则需要使用绝对路径访问文件

path =  'ex1data1.txt'
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head()  #预览数据

运行结果为：

注意：data.head()在没有传入参数的时候，默认显示前五位数据。

描述数据

data.describe()

运行结果为：

数据可视化，绘制散点图

data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
plt.show()

运行结果为：

现在让我们使用梯度下降来实现线性回归，以最小化成本函数。首先，我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数：

其中

根据以上公式，计算代价函数为：

def computeCost(X, y, theta):
    temp = np.dot(X, theta.T)-y
    result = [[temp[i][j]**2 for j in range(len(temp[i]))] for i in range(len(temp))]
    return np.sum(result)/(2*len(temp))

让我们在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。

data.insert(0, 'Ones', 1)

然后做一些变量的初始化。

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols-1]#X是所有行，去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:cols]#X是所有行，最后一列

观察下X（训练集）与y（目标变量是否正确）

X.head()#head()是观察前5行

y.head()

代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta，即把theta所有元素都设置为0.

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix([0,0])

theta 是一个(1,2)矩阵

2. 批量梯度下降

梯度下降的公式为：

根据该式子，梯度下降的函数可以写为：

def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)
    
    for i in range(iters):
        part_1 = np.dot(X, theta.T) - y
        for j in range(parameters):
            part_2 = np.multiply(part_1, X[:,j])
            temp[0,j] -= alpha * np.sum(part_2)/len(X)
        theta = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)
    return theta, cost

初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数。

alpha = 0.01
iters = 1000

现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。

g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g

结果为：

最后，我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）。

computeCost(X, y, g)

结果为：4.515955503078912

现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。

x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()

输出结果为：

由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。 请注意，代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

3. 多变量线性回归

在这一部分，你将完成多变量线性回归去预测房价。假设你正在售卖你的房子并且你想去了解一个好的市场价格。一个方法就是首先去收集最近房子的信息并建立一个房价预测模型，文件“exidata2.txt”中包含了波兰的房价的训练集。第一列数据是房子的大小(平方英尺)，第二列是卧室的数目，第三列是房价。下面的代码来完成房价的预测：

首先，读取数据：

path =  'ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()

对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。 这个对于pandas来说很简单

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()

现在我们重复第一部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序：

# add ones column
data2.insert(0, 'Ones', 1)

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]

# convert to matrices and initialize theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))

# perform linear regression on the data set
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)

# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2)

结果为： 0.130703369607711892

我们也可以快速查看这一训练进程。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

4. 正规方程法

正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：

假设我们的训练集特征矩阵为X（包含了X0=1）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量 ?=(???)−1???θ=(XTX)−1XTy 。 上标T代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵?=???A=XTX，则：(???)−1=?−1

梯度下降与正规方程的比较：

梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型

正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算(???)−1(XTX)−1，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为?(?3)O(n3)，通常来说当?n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型

# 正规方程
def normalEqn(X, y):
    A = np.dot(X.T, X).I
    B = np.dot(A, X.T)
    theta = np.dot(B,y)
    return theta

final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2

输出结果为：

matrix([[-3.89578088],
        [ 1.19303364]])