概率论与数理统计（持续更新中）

概率论的学习是在大一的时候了，当时遇到一个比较逗逼的老师，上着课，一不小心就开车，讲他见到的那些狗血剧班 的经历，光听他说故事去了，没有好好听课。到现在准备入行数据分析的时候，发现概率论对我还是非常重要，是专业基础，于是重学概率论。在“中国大学MOOC”上学习，将课堂所学与自己所思记录在这里。（持续更新）

其实当下炒的很热的大数据，人工智能他们很多的东西都建立在概率的基础之上。前段时间听李善友教授讲颠覆式创新，它就提到了不确定性。而概率论正是用不确定性来理解这个世界的。同时它也是分析师理解数据含义，根据业务产出数据价值的有力工具。所以说，概率是一门非常值得学的学科。

1.关于随机事件及其概率

贝叶斯公式：已知结果A，分析导致结果出现的第i个原因Bi发生的概率发生的概率。

贝叶斯定理

对于贝叶斯定理，在营销学上的应用还是很广的。包括在今天的大数据环境下，很多的数据分析模型都是根据贝叶斯定理来实现的。举一个非常简单的应用例子：某咨询公司对某企业的近期运营状况作出了诊断，发现在最近这段时间里企业面对着用户的流失率增加了，于是乎就想知道到底是什么原因导致了用户的流失。根据公司过往数据的分析发现，导致用户流失的主要原因一共有两个，一个原因是一个是企业给用户每天推送的广告超过三条的话，客户有8%的可能会流失；第二个原因呢就是因为推送时间的变化使得用户流失，这个概率有5%。同时，对于这两类的错误，企业有15%的概率会犯推送广告过多的错误，有10%的概率会犯推送时间变动的错误。这个时候我们回到问题“是什么导致了客户的流失”，对于已知的两个原因，构成了完备事件组，我们需要知道的就是最有可能是什么原因导致了客户的流失？（案例纯属虚构，只为帮助理解贝叶斯定理）

回到贝叶斯定理，事件A就是表示客户流失，Bi|A则表示导致A产生，事件Bi发生的概率。其中B1就是推送广告内容过多，B2就是推送时间的变化。我们可以分别求出客户流失的情况下，B1和B2发生的概率。经过计算可得P(B1|A)=71%，即客户流失的原因有71%的可能性是由推送内容过多造成的，有29%的可能是由推送时间变化造成 的。这样一来，我们也就可以预测出我们的问题可能出在哪里。

在这里面的应用中，需要注意的是，我们的事件发生原因应当是越全面越好，因为贝叶斯定理是在已有因素里面找可能性，在基础数据上的问题一定要避免。不过对于数据的来源，可信度方面不再讨论之列。

2.常见的概率统计指标

数学期望：反映随机变量平均取值的大小，用于计算平均值。

数学期望公式

在这里，Xi表示随机变量的可能发生结果，Pi表示发生此结果的概率。最终的均值等于所有随机变量结果乘以概率的和。但是期望往往会具有数据遮蔽性。这就是为什么我们的人均工资都达到了六七千，但是大多数人的工资水平就是在三四千徘徊。其实就好比，在十个人的工资报告中，九个人的工资是4000，而某牛人工资一月20000，于是在报告中，人均工资5600。这种数据往往不能反映真实的数据情况，在数据分析过程中要慎用均值。

方差：反映随机变量的波动程度，即稳定性。

方差

当期望值接近或相等时，我们更倾向于选择波动较小的变量，因为这样的数据稳定性好，用来计算的误差也会减小。

标准差：反映波动大小的量。

标准差，均方差

相关系数：反映两个变量之间的相互关系及其相关方向

相关系数

协方差

在这里面相关系数为（-1,1），绝对值值越大，表明相关度越高，正数正相关，负数负相关，当协方差为零时两者不相关。当X和Y相互独立时，X,Y不相关。需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

中位数：表示一组分布数据的中间点，它比均值更稳定，更不容易受到极端值的影响。（n+1）/2的位置或n/2和（n+1）/2的平均值位置。

3.几个基本定理及分布

大数定律：在重复次数足够多的条件下，随机事件往往呈现几乎必然的统计特性。

如：对于诈骗短信，我们很多人都会说，谁会去上这个当。但是作为犯罪分子来说，只要他们发送的短信数量足够多，就一定会有人上当。显然消费者上当后他们获得的利润比他们的投入成本要高的多的，因此他们愿意冒法律风险来做这个事。

中心极限定理：当随机变量的个数不断增加时，其和的分布趋近于正态分布。

正态分布：自然界很多随机现象都符合的分布规律，类似于“二八定则”

正态分布