线性代数(三) ： 线性映射与矩阵

将矩阵抽象为线性变换来考虑是很有必要的，这样会有很多好处：简化符号，简化证明，便于理解逆矩阵等概念，对于将来研究无限维空间也是很有必要的。

1 映射

映射这个概念中学就学过,复习一下：

集合X到集合U上的映射T是定义在X上，取值在U内的一个函数：f(x) =u

记作 T : X->U 

一个简单的映射的例子：

2 线性映射

有了之前线性空间等概念，我们直接给出线性映射的定义：

(i) X和U是相同域上的线性空间.X成为域空间，U称为目标空间

(ii)映射T : X->U 如果是可加的( T(X+Y)= T(X)+T(Y) ) 

    并且是齐次的(T(kX) = kT(X)) 则称T为线性映射

    记T在x处的值为乘积Tx.

(iii)线性映射又称线性变换或线性算子

线性变换的例子：

(1) f : R->R  f(x) = ax+b 线性映射f 将x轴上的每一个数映射到y轴上:

(2) X=U=R^2 ,T表示绕原点转角为的旋转.

3 向量的线性组合

域K上的线性空间中的向量x1,x2,...,xj 的一个线性组合是具有下列形式的向量：

k1x1 + k2x2 + ,...,+ kjxj    kj∈K;

特别的，当向量组为单位向量组e1,e2,...,ej(第j个分量是1其余是0的向量)的时候：

任意一个向量X都可以表示为这些单位向量的线性组合：

X = x1e1 + x2e2 +,...,+xjej

4 用矩阵表示线性映射

对于一个R^n 到 R^m 的线性映射T ：u = Tx 

将x表示单位向量的线性组合：

5再议矩阵乘法

(1) mxn的矩阵T乘向量x可以理解为将这个n维列向量线性映射为一个m维列向量：

(2) 而一个mxn矩阵乘nxL 矩阵就是先进行一个线性映射再进行一个线性映射.

这叫做线性映射的复合。线性映射的复合是另一个线性映射。映射T和映射S的复合记做：T o S.

将映射表示为矩阵。则线性映射的复合就是对应的矩阵相乘.

(3) 由于复合映射的前一个映射的目标空间是另一个的域空间。所以矩阵乘法要求第一个的列数要等于第二个的行数。