【JAVA算法】简单-将有序数组转换为二叉搜索树
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本博文仅为了督促自己学习算法，如有遗漏或错误之处，请不吝指教；
题目
将一个按照升序排列的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树。
本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
示例 :
给定有序数组: [-10,-3,0,5,9],
一个可能的答案是：[0,-3,9,-10,null,5]，它可以表示下面这个高度平衡二叉搜索树：
0
/ \
-3 9
/ /
-10 5
解题思路：
题目中给出了两个条件：一个升序排序的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树
我们先了解下，什么是二叉搜索树：
二叉搜索树
二叉搜索树（Binary Search Tree）是指一棵空树或具有如下性质的二叉树：
- 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
- 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
- 任意节点的左、右子树也分别为二叉搜索树
- 没有键值相等的节点
基于以上性质，我们可以得出一个二叉搜索树的特性：二叉搜索树的中序遍历结果为递增序列
中序遍历的顺序为：左节点 → 根节点 → 右节点
遍历树的方法有哪些：
DFS(深度优先)，又细分为先序遍历，中序遍历，后序遍历
BFS(广度优先)
- 深度优先遍历（DFS）
这种方法以深度 depth 优先为策略，从根节点开始一直遍历到某个叶子节点，然后回到根节点，在遍历另外一个分支。
根据根节点，左孩子节点和右孩子节点的访问顺序又可以将 DFS 细分为先序遍历 preorder，中序遍历 inorder 和后序遍历 postorder。 - 广度优先遍历（BFS）
按照高度顺序，从上往下逐层遍历节点。
先遍历上层节点再遍历下层节点。
下图中按照不同的方法遍历对应子树，得到的遍历顺序都是 1-2-3-4-5。根据不同子树结构比较不同遍历方法的特点
将有序数组转换为二叉搜索树的结果为什么 不唯一 ？
二叉搜索树的中序遍历是一个升序序列。
将有序数组作为输入，可以把该问题看做 根据中序遍历序列创建二叉搜索树。
这个问题的答案唯一吗。例如：是否可以根据中序遍历序列和二叉搜索树之间是否一一对应，答案是 否定的
下面是一些关于 BST 的知识。
- 中序遍历不能唯一确定一棵二叉搜索树。
- 先序和后序遍历不能唯一确定一棵二叉搜索树。
- 先序/后序遍历和中序遍历的关系： inorder = sorted(postorder) = sorted(preorder)
- 中序+后序、中序+先序可以唯一确定一棵二叉树。
因此，“有序数组 -> BST”有多种答案。
因此，添加一个附件条件：树的高度应该是平衡的、例如：每个节点的两棵子树高度差不超过 1
这种情况下答案唯一吗？仍然没有。
高度平衡意味着每次必须选择中间数字作为根节点。这对于奇数个数的数组是有用的，但对偶数个数的数组没有预定义的选择方案。
对于偶数个数的数组，要么选择中间位置左边的元素作为根节点，要么选择中间位置右边的元素作为根节点，不同的选择方案会创建不同的平衡二叉搜索树。
方法一：始终选择中间位置左边的元素作为根节点，
方法二：始终选择中间位置右边的元素作为根节点。
方法一和二会生成不同的二叉搜索树，这两种答案都是正确的。
如何构造树
构造一棵树的过程可以拆分成无数个这样的子问题：构造树的每个节点以及节点之间的关系。对于每个节点来说，都需要：
- 选取节点
- 构造该节点的左子树
- 构造该节点的右子树
因题目要求构造一棵「高度平衡」的树，所以我们在选取节点时选择数组的中点作为根节点，以此来保证平衡性。
以题目给出的 [-10,-3,0,5,9] 为例。
我们选取数组中点，即数字 0 作为根节点。此时，以 0 为分界点将数组分为左右两个部分，左侧为 [-10, -3]，右侧为 [5, 9]。
因该数组为升序排列的有序数组，所以左侧数组值均小于 0，可作为节点 0 的左子树；右侧数组值均大于 0，可作为节点 0 的右子树。
同上述步骤，将 [-10, -3] 和 [5, 9] 单独看作两棵树，从而继续为他们构造左右子树。
对于左侧数组 [-10, -3]，我们选取 -3 作为根节点；对于右侧数组 [5, 9]，选取 9 作为根节点。
最终构造结果如下：
递归设计
函数作用
通过上述解题过程我们可以明确该问题的子问题是：构造树的每个节点以及该节点的左右子树。因此，递归函数的作用很明显：
- 选取要构造关系的节点并创建它
- 构造该节点的左子树
- 构造该节点的右子树
- 函数的输入为递增数组，函数的返回为完成构造的节点。
何时结束
当输入的递增数组为空时，只能构成一棵空树，此时返回空节点。
何时调用
当构造节点的左右子树时，对递增数组进行拆分并进行递归调用。
解题方案：
方法一：中序遍历
算法思路
始终选择中间位置左边元素作为根节点
- 方法 helper(left, right) 使用数组 numsnums 中索引从 left 到 right 的元素创建 BST：
如果 left > right，子树中不存在元素，返回空。
找出中间元素：p = (left + right) // 2。
创建根节点：root = TreeNode(nums[p])。
递归创建左子树 root.left = helper(left, p - 1) 和右子树 root.right = helper(p + 1, right)。 - 返回 helper(0, len(nums) - 1)。
JAVA代码
class Solution {
int[] nums;
public TreeNode helper(int left, int right) {
if (left > right) return null;
// always choose left middle node as a root
int p = (left + right) / 2;
// inorder traversal: left -> node -> right
TreeNode root = new TreeNode(nums[p]);
root.left = helper(left, p - 1);
root.right = helper(p + 1, right);
return root;
}
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
this.nums = nums;
return helper(0, nums.length - 1);
}
}
方法二.中序遍历
始终选择中间位置右边元素作为根节点
JAVA代码
class Solution {
int[] nums;
public TreeNode helper(int left, int right) {
if (left > right) return null;
// always choose right middle node as a root
int p = (left + right) / 2;
if ((left + right) % 2 == 1) ++p;
// inorder traversal: left -> node -> right
TreeNode root = new TreeNode(nums[p]);
root.left = helper(left, p - 1);
root.right = helper(p + 1, right);
return root;
}
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
this.nums = nums;
return helper(0, nums.length - 1);
}
}
方法三：中序遍历
算法思路
选择任意一个中间位置元素作为根节点
不做预定义选择，每次随机选择中间位置左边或者右边元素作为根节点。每次运行的结果都不同，但都是正确的
JAVA代码
class Solution {
int[] nums;
Random rand = new Random();
public TreeNode helper(int left, int right) {
if (left > right) return null;
// choose random middle node as a root
int p = (left + right) / 2;
if ((left + right) % 2 == 1) p += rand.nextInt(2);
// inorder traversal: left -> node -> right
TreeNode root = new TreeNode(nums[p]);
root.left = helper(left, p - 1);
root.right = helper(p + 1, right);
return root;
}
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
this.nums = nums;
return helper(0, nums.length - 1);
}
}
三种方法复杂度
- 时间复杂度：O(N)，每个元素只访问一次
- 空间复杂度：O(N)，二叉搜索树空间 O(N)，递归栈深度O(logN)
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