【BZOJ1045】【HAOI2008】糖果传递

Description

  有n个小朋友坐成一圈,每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

  第一行一个正整数n<=987654321,表示小朋友的个数.接下来n行,每行一个整数ai,表示第i个小朋友得到的糖果的颗数.

Output

  求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4
题解
首先,最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来,等于糖果总数除以n,用ave表示。 假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果,Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果,如果Xi<0,说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果,X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。 对于第一个小朋友,他给了第n个小朋友X1颗糖果,还剩A1-X1颗糖果;但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果,所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意,最后的糖果数量等于ave,即得到了一个方程:A1-X1+X2=ave。 同理,对于第2个小朋友,有A2-X2+X3=ave。最终,我们可以得到n个方程,一共有n个变量,但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程,所以实际上只有n-1个方程是有用的。 尽管无法直接解出答案,但可以用X1表示出其他的Xi,那么本题就变成了单变量的极值问题。
对于第1个小朋友,A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave,下面类似)
对于第2个小朋友,A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2
对于第3个小朋友,A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3
……
对于第n个小朋友,An-Xn+X1=ave。
我们希望Xi的绝对值之和尽量小,即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离,所以问题变成了:给定数轴上的n个点,找出一个到他们的距离之和尽量小的点,而这个点就是这些数中的中位数,(这个方法非常常用)证明略。
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000010 ;
int a[maxn],c[maxn];
ll sum,ans=0;
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    scanf("%d",&a[i]);
	    sum+=a[i];
	}
	int M=sum/(ll)n;
	c[0]=0;
	for(int i=1;i

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