掌握基本的数据结构知识,能够根据实际需求设计算法编写程序,解决问题。
1. 树、图的存储
2. 哈希表、集合数据结构
3. 图的最短路、生成树算法,有向图的拓扑排序算法。
4. 动态规划常见模型,分治策略,各种排序算法。
5. 可重集组合,二项式定理,数列与级数,归纳与递推,容斥原理,函数的连续性、函数的单调性和极值。
1. 能对一些算法和数据结构估算时间复杂度和空间复杂度。
2. 能根据实际问题的模型选择合适的算法和数据结构来解决问题。
3. 具备知识收集和知识管理的能力。
1. 与NOIP提高组复赛相衔接。采用上机编程考核方式,分两次测试,每次3个试题,考4个小时。共6道题,考8小时。
2. NOIP提高组复赛中成绩列全国前50%。
试题名:最优贸易
文件名:trade
试题描述:
C国有n个大城市和m条道路,每条道路连接这n个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这m条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为1条。C国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到C国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一消息之后,便决定在旅游得同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C国n个城市的标号1 ~n,阿龙决定从1号城市出发,并最终在n号城市结束自己的旅行。在旅游得过程中,任何城市可以重复经历多次,但不要求经过所有n歌城市。阿龙通过这些的贸易方式赚取旅费;他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取得差价当做旅费。由于阿龙主要是来C过旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。假设C国有5个大城市,城市的编号和道路连接情况如下图,单向箭头表示这条道路为单向通行,双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设1~n号城市的水晶球价格分别为4,3,5,6,1。阿龙可以选择如下一条线路:1->2->3->5,并在2号城市以3的价格买入水晶球,在3号城市以5的价格卖出水晶球,赚取得旅费数为2。阿龙也可以选择如下一条线路:1->4->5->4->5,并在第1次到达5号城市时以1的价格买入水晶球,第2次到达4号城市时以6的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为5。现在给出n个城市的水晶球价格,m条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况)。
请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。
输入数据:
输入文件为trade.in。
第一行包含2个正整数n和m,中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的数目。第二行n个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这n个城市的商品价格。接下来m行,每行有3个正整数,x,y,z,每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1,表示这条道路是城市x到城市y之间的单向道路;如果z=2,表示这条道路为城市x和城市y之间的双向道路。
输出数据:
输出文件trade.out。
共1行,包含1个整数,表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易,则输出0。
输入输出样例:
trade.in trade.out
5 5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
数据范围:
输入数据保证1号城市可以到达n号城市。
对于10%的数据,1<=n<=6。
对于30%的数据,1<=n<=100。
对于50%的数据,不存在一条旅游路线,可以从一个城市出发,再回到这个城市。
对于100%的数据,1<=n<=100000,1<=m=500000,1<=x,y<=n,1<=z<=2,1<=各城市水晶球价格 <=100。
参考题解:
此题方法有很多,下面介绍两种方法。
方法1:
将图中圈缩成点,变成一个有向无环图。
设f(i)表示i点的最低买入价,g(i)表示i点的最高卖出价。
从左至右做简单动态规划,f(i)=min{f[j],a[i]},其中j到i有弧,意思是当前的最低买入价,要么是前面城市的最低买入价,要么就是当前城市的价格。
然后从右至左再进行简单动态规划。f(i)=max{f[j],a[i]},其中i到j有弧,意思是当前的最高卖出价,要么是后面城市的最低卖出价,要么就是当前城市的价格。
答案就是对所有城市求出最大差价,即ans=max{g(i)-f(i)}。
方案2:
从起始城市开始,到目标城市结束,沿着正向弧用spfa求出每个城市的最大买入价。
从目标城市开始,到起始城市结束,沿着逆向弧用spfa求出每个城市的最大卖出价。
答案就是对所有城市求出最大差价,即ans=max{g(i)-f(i)}。