多元函数第五：拓扑初步（3）内部，边界与外部运算

任何集合$S$都可以定义内部$int(S)$，边界$Bd(S)$和外部$ext(S)$这三个集合。而对于集合$T=int(S)$来说，它也有它的内部$int(T)=int(int(S))$，边界$Bd(T)=Bd(int(S))$和外部$ext(T)=ext(int(S))$。类似地，$S$的边界也有内部、边界和外部，$S$的外部也有内部、外部和边界。那么这些集合有什么性质呢？这是本文要解决的问题。

在步入正题之前，首先简单介绍集合$S$与补集$S^c$的内部，外部与边界的关系。

首先，由边界定义的对称性可以知道
$$Bd(S)=Bd(S^c)。$$
由此，我们立即可以得到
$$int(S)=ext(S^c)。$$
因为设$x$是S的内点，那么$x\notin S^c$。这样$x$不可能是$S^c$的内点。同时，$x$也不可能是$S^c$的边界点，否则$x$也是$S$的边界点。综上，$x$只能是$S^c$的外点。
类似地，我们有
$$ext(S)=int(S^c)。$$

接下来，进入正题。

内部的内部

首先，我们证明一个基本的引理。

引理1. 对任意的$x_0\in {\mathbb{R}}^n$和$\delta >0$，都有开球
$$U(x_0,\delta )=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-x_0|<\delta \}$$
是开集。

证明. 对于任意的$x\in U(x_0,\delta )$，记$|x-x_0|={\delta }^{\prime }<\delta$。那么，令$\lambda =(\delta -{\delta }^{\prime })/2>0$，便有$U(x,\lambda )\subseteq U(x_0,\delta )$。这说明$x\in int(U(x_0，\delta ))$。由$x$的任意性，便有$U(x_0，\delta )\subseteq \int (U(x_0，\delta ))$。这说明$U(x_0,\delta )$是一个开集。证毕。

命题1. 任意集合$S$的内部都是开集。
证明. 记$T=int(S)$。那么根据内部的定义，对任意$x\in T$都存在开球$U(x,\delta )$满足$U(x,\delta )\subseteq S$。接下来，我们证明$U(x,\delta /2)\subseteq T$。事实上，对任意的$y\in U(x,\delta /2)$ 都有$U(y,\delta /4)\subseteq U(x,\delta )\subseteq S$。这证明了$y\in T$。由$y$的任意性，便有$U(x,\delta /2)\subseteq T$。

于是，我们证明了对任意$x\in T$都存在开球$U(x,\delta /2)$满足$U(x,\delta /2)\subseteq T$，也即$x\in int(T)$。由$x$的任意性，便有$T\subseteq int(T)$。这证明了$T$是开集。证毕。

由命题1，我们立即得到
$$int(int(S))=int(S)。$$

内部的外部

命题2.
$$ext(S)\subseteq ext(int(S)).$$
证明，若$x\in ext(S)$那么存在$x$的邻域$U$满足$U\cap S=\varnothing$。因为$int(S)\subseteq S$，故$U\cap int(S)=\varnothing$。这说明$x$是$int(S)$的外点。证毕。

同时，存在$ext(S)≠ext(int(S))$的情况。例如考虑拓扑空间$\mathbb{R}$。记$S=\mathbb{Q}$为有理数集。那么$ext(S)$是空集。同时，$int(S)$也是空集，故而$ext(int(S))=\mathbb{R}$。

内部的边界
命题3.
$$Bd(int(S))\subseteq Bd(S).$$
证明。若$x\in Bd(int(S))$，我们证明$x$也是$S$的边界点。首先$x$不是$S$的内点，否则$Bd(int(S))\cap int(S)$非空，这与$int(S)$是开集的结论矛盾。其次，$x$不是$S$的外点，否则由命题2，$x$也是$int(S)$的外点，矛盾。证毕。

同时，存在$Bd(S)≠Bd(int(S))$的情况。例如考虑拓扑空间$\mathbb{R}$。记$S=\mathbb{Q}$为有理数集。那么$Bd(S)$是$\mathbb{R}$。同时，$int(S)$也是空集，故而$Bd(int(S))=\varnothing$。

关于外部的内部，边界和外部可以类似地得到。因为集合的外部和集合的内部有完全相同的性质。

外部的内部

$$int(ext(S))=ext(S)。$$

外部的外部

$$int(S)\subseteq ext(ext(S)).$$

外部的边界

$$Bd(ext(S))\subseteq Bd(S).$$

边界的内部，外部和边界没有特别显著的性质，故而不做讨论。