2019牛客暑期多校训练营（第二场）B Eddy Walker2 【杜教BM】

传送门

题意：

一个人从0点出发，在数轴上向右走，每次有1/K的概率向右走1步，有1/K的概率向右走2步，…，有1/K的概率向右走K步
问到达Ni点的概率是多少                  注：Ni==-1时，代表Ni在无穷远处

思路：

①Ni==-1，也就是无穷远处

考虑走一步能走的距离的期望是，那么由于期望的性质，不妨认为每步都走

那么看能不能到达N，就等价于看是从0,1，...这 个点哪个点出发的，

N只能从其中1个点出发到达，从而从这么多点选一个选中那个点的概率是 ，

邓神是这样证明的：

 

②Ni不为无穷远，Ni<=1e18，线性递递推 

放进杜教BM板子里搞一搞，预处理前2k项答案，搞出第N项取模mod答案

#include
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#include
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
ll powmod(ll a,ll b){ll res=1;a%=mod;assert(b>=0);for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;};
namespace linear_seq
{
	#define rep(i,a,n) for(int i=a;i=a;i--)
	#define pb push_back
	#define mp make_pari
	#define all(x) (x).begin(),(x).end()
	#define SZ(x) ((int)(x).size())
	typedef vector VI;
	const int N=100010;
	ll res[N],base[N],_c[N],_md[N];
	vector Md;
	void mul(ll *a,ll *b,ll k)
	{
		rep(i,0,k+k) _c[i]=0;
		rep(i,0,k) if(a[i]) rep(j,0,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
		for(int i=k+k-1;i>=k;i--) if(_c[i])
		rep(j,0,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod;
		rep(i,0,k) a[i]=_c[i];
	}
	int solve(ll n,VI a,VI b)
	{
		ll ans=0,pnt=0;
		ll k=SZ(a);
		assert(SZ(a)==SZ(b));
		rep(i,0,k)_md[k-1-i]=-a[i];_md[k]=1;
		Md.clear();
		rep(i,0,k) if(_md[i]!=0) Md.push_back(i);
		rep(i,0,k) res[i]=base[i]=0;
		res[0]=1;
		while((1ll<=0;p--)
		{
			mul(res,res,k);
			if((n>>p)&1)
			{
				for(ll i=k-1;i>=0;i--) res[i+1]=res[i];res[0]=0;
				rep(j,0,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod;
			}
		}
		rep(i,0,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod;
		if(ans<0) ans+=mod;
		return ans;
		
	}
	VI BM(VI s)
	{
		VI C(1,1),B(1,1);
		ll L=0,m=1,b=1;
		rep(n,0,SZ(s))
		{
			ll d=0;
			rep(i,0,L+1) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod;
			if(d==0) ++m;
			else if (2*L<=n)
			{
			
				VI T=C;
				ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
				while(SZ(C)ans;
ll dp[N<<1];
ll n,k;
int main()
{
	int t ;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld%lld",&k,&n);
		if(n==-1)
		{
			printf("%lld\n",powmod(k+1,mod-2)*2%mod);
			continue;
		}
		else
		{
			ll p=powmod(k,mod-2);/
			dp[0]=1;
			ans.clear();
			ans.push_back(dp[0]);
			for(int i=1;i<=2*k;i++)
			{
				dp[i]=0;
				for(int j=i-1;j>=max(i-k,0*1ll);j--)
				{
					dp[i]=(dp[i]+p*dp[j]%mod)%mod;
				}
				ans.push_back(dp[i]);
			}
			printf("%lld\n",linear_seq::gao(ans,n));
		}
	}
	return 0;
}