算法导论：用主定理求解递归式 计算算法复杂度

主定理公式: $T(n)=aT(n/b)+f(n)$

算法导论书上将算法复杂度的求解方法讲的很清楚，就分三种情况：

1. 当 $O(n^{lo{g}_b^a})>O(f(n))$的时候，$T(O)=O(n^{lo{g}_b^a})$
2. 当 $O(n^{lo{g}_b^a})=O(f(n))$的时候，$T(O)=O(n^{lo{g}_b^a}lgn)$
3. 当 $O(n^{lo{g}_b^a})<O(f(n))$的时候，$T(O)=O(f(n))$

显然，$T(n)$将复杂度分为了$aT(n/b)$的复杂度$O(n^{lo{g}_b^a})$，和$f(n)$的复杂度$O(f(n))$两部分，两者谁大则取谁的值，如果相同，则为$O(n^{lo{g}_b^a}lgn)$

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练习：

(1). 求： $T(n)=2T(n/4)+1$

解：$a=2,b=4,$ 所以$O(n^{lo{g}_b^a})$的值为$O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为$O(1)$， 所以 $O(n^{lo{g}_b^a})>O(f(n))$，则$T(O)=O(\sqrt{n})$

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(2). 求： $T(n)=2T(n/4)+\sqrt{n}$

解：$a=2,b=4,$ 所以$O(n^{lo{g}_b^a})$的值为$O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为$O(\sqrt{n})$， 所以 $O(n^{lo{g}_b^a})=O(f(n))$，则$T(O)=O(\sqrt{n}lgn)$

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(3). 求： $T(n)=2T(n/4)+n$

解：$a=2,b=4,$ 所以$O(n^{lo{g}_b^a})$的值为$O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为$O(n)$， 所以 $O(n^{lo{g}_b^a})<O(f(n))$，则$T(O)=O(n)$

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(4). 求： $T(n)=2T(n/4)+n^2$

解：$a=2,b=4,$ 所以$O(n^{lo{g}_b^a})$的值为$O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为$O(n^2)$， 所以 $O(n^{lo{g}_b^a})<O(f(n))$，则$T(O)=O(n^2)$

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