走近分形与混沌(part1)--分形是趋于无穷的极限，是画不出来的

读书笔记

学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》-张天蓉;

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分形龙

我们做一个小实验，把一个纸带收尾对折，对折，再对折…重复十几次。然后在松开纸带，得到的是弯弯曲曲的折线。我们把“纸带对折一次”的动作用数学的语言来表述，便对应于几何图形的一次“迭代”。如刚才所描述的纸带“对折”，就是将一条线段“折”了一下。

下图显示了前两图从“初始图形”到“第一次迭代”的过程：

上图就是分形龙曲线的生成过程 然后，将这种“迭代”操作循环往复地做下去，最终所得到的图形叫做中国龙，或称分形龙。

需要注意的是！ 我们这里的纸带和一般的纸带不太一样，这里纸带的长度不是不变的。从上图可以看到，我们只是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变。因此，所有线段加起来的总长度（对应于纸带长度）应是不断增加的。

观察分形龙形成过程，可以得到3个结论：

（1）简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；

（2）越来越复杂的图形表现出一种自相似性；

（3）迭代次数较少时，图形看起来是一条折来折去的“线”，随着迭代次数的增加（迭代次数→无穷）最后的图形看起来像是一个“面”。

之前折叠纸带而构成的分形龙曲线，也具有这种自相似性,由下图可以观察到，分形龙可以看成是由4个更小的、但形状完全一样的“小分形龙”组成的：

具有此类性质的图形，就叫做“分形”。

需要注意的是！我们用迭代的方法生成分形，但是，生成过程中的那些图都不是分形，只是最后那个无穷迭代下去的最后极限的图形才叫做分形！

我们从日常生活中已经建立了“点、线、面、体”的概念，几何学给它们抽象了一下，分别叫它们做“零维、一维、二维、三维”的几何图形。那么分形龙图形到底是一维的“线”还是二维的“面”呢？这里谈到的"维数"是一个严格的数学问题，我们需要仔细研究，当迭代次数趋近于无穷时，分形龙的维数到底是多少

这个问题我们留到以后再讨论，我们先学习一下科赫曲线

科赫曲线

分形（fractal）是一种不同于欧氏几何学中元素的几何图形。简单的分形图形，刚才所说的分形龙，很容易从迭代法产生。除了分形龙之外，还有许多看起来更简单的分形曲线，科赫曲线就是一例：

如上图所示，科赫曲线可以用如下方法产生：在一段直线中间，以边长为三分之一的等边三角形的两边，去代替原来直线中间的三分之一，得到（a）.对（a）的每条线段重复上述做法又得到（b），对（b）的每段又重复，如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。科赫曲线显然不同于欧氏几何学中的平滑曲线，它是一种处处是尖点，处处无切线，长度无穷的几何图形。科赫曲线具有无穷长度。这点很容易证明：因为在产生科赫曲线的过程中，每一次迭代变换都使得曲线的总长度变成原来长度的三分之四倍，也就是说乘以一个大于1的因子，这样一来，当迭代变换次数趋向于无穷时，曲线的长度也就趋向于无穷。

科赫雪花则是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的：

每条科赫曲线都是连续而无处可微的曲线，每条曲线的长度都无限大，所以，由三条科赫曲线构成的科赫雪花的整个周长也应该无限大。然而，从图中很容易看出，科赫雪花的面积却应该是有限的。

利用初等数学很容易求得上图中作无限次迭代之后的科赫雪花图形的面积:

设$A_0$为初始三角形的面积，$A_n$为n次迭代之后图形的面积，读者不难得出下面的迭代公式：
$$A_{n+1}=A_n+\frac{3\ast 4^{n-1}}{9^n}{A}_{0}n\ge 1\text{\hspace{1em}(1)}$$
从科赫雪花图（b）也很容易算出迭代一次之后的图形面积$A_1$：
$$A_1=\frac{4}{3}{A}_0$$
经过简单的代数运算(这里我按照公式(1)推导的极限比书上的结果多了1/3A₀)：
$$\begin{gathered} A_n=A_0+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{3\ast 4^{k-1}}{9^k}{A}_0 \\ =A_0(1+\frac{3}{4}\sum _{k=1}^{n-1}\frac{4^k}{9^k}) \\ \underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n=A_0(1+\frac{3}{4}\ast \frac{4}{5})=\frac{8}{5}{A}_0\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

最后可得到科赫雪花的面积：
$$\frac{2S^2\sqrt{3}}{5}$$
式中的$S$是原来三角形的边长，$S^2$＝3。